6.6 有磁介质存在时的安培环路定理

由 6.3.3 节已知,真空中恒定磁感应场的安培环路定理为

$$\oint_{I} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} = \mu_0 \sum_{i} I \tag{6.5.9}$$

在有磁介质存在的空间中,上式依然能成立,但是产生磁场的除了传导电流 $I_a$ 外,还有表面分子电流 $I_s$ ,所以全部的电流为 $\Sigma I = I_a + I_a$ 。考虑两种电流的共同影响,式(6.5.9)改写成

$$\oint_{I} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 (I_d + I_s)$$

(6.5.10)

由式(6.5.6),式(6.5.10)可以改写为 $\oint_l \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 \left( I_d + \oint_l \mathbf{M} \cdot d\mathbf{l} \right)$ , 整理后得

$$\oint_{l} \left( \frac{\mathbf{B}}{\mu_{0}} - \mathbf{M} \right) \cdot \mathbf{d}\mathbf{l} = I_{d}$$

式中, $I_a$ 是传导电流,为了方便,今后直接写成I,即

$$\oint_{l} \left( \frac{\mathbf{B}}{\mu_0} - \mathbf{M} \right) \cdot \mathbf{d}\mathbf{l} = I$$

(6.5.11)

令

$$H = \frac{B}{\mu_0} - M \tag{6.5.12}$$

则式(6.5.11)改写成

$$\oint_{I} \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{l} = I \quad \vec{\mathbf{g}} \quad \oint_{I} \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{l} = \int_{S} \boldsymbol{J} \cdot d\boldsymbol{S} \quad (6.5.13)$$

式中,H 称为磁场强度,单位与 M 相同,都为 $A \cdot m^{-1}$ (安培每米),J 为传导电流密度。

式(6.5.13)为有磁介质存在情况下的安培环路定理,其物理意义为:在静磁场中,磁场强度 H 的环路积分等于通过闭合回路所围面积中所有传导电流的代数和。

6.5.6 B、M、H 三矢量的关系

在恒定磁场中,先后出现了 $B \setminus M \setminus H$ 三个矢量。一般说来, 三者之间的关系是比较复杂的,在此仅讨论各向同性磁介质中的情况。由式(6.5.8)已知 $B \in M$ 的关系为

$$B = \frac{\mu}{\chi_m} M$$

由式(6.5.12)已知 $B \setminus M \setminus H$ 的关系为 $H = \frac{B}{\mu_0} - M$ , 利用 $\mu =$

$\mu_0\mu_L, \chi_m = \mu_L - 1$ 可以得到

$$H = \frac{B}{\mu} \quad \text{if} \quad B = \mu H \tag{6.5.14}$$

同样可以得到

$$\boldsymbol{H} = \frac{1}{\chi} \boldsymbol{M} \quad \text{if} \quad \boldsymbol{M} = \chi_{m} \boldsymbol{H} \tag{6.5.15}$$

例题 6-9

如图 6-28 所示,在一个平均半径为r,截面半径为R,绕有N 匝线圈的螺绕环内,均匀充满各向同性的磁介质,磁介质的相对磁导率为 $\mu_r$ ,当线圈通过电流为I时,求磁场强度H和磁感应强度B。

例题 6-9 图

解:由于该螺绕环是一个理想的螺绕环,所以环内的磁场为均匀磁场,现沿环的平均周长取积分回路 l,由式(6.5.13)可得

$$\oint_I \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{l} = \sum_I I = NI$$

均匀磁场中 H 为一常量,所以上式积分为

$$\oint_{l} \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{l} = H2\pi r = NI, \quad \mathcal{H} = \frac{NI}{2\pi r} = nI$$

式中 $,n = \frac{N}{2\pi r}$ 为线圈密度。H的方向可以用右手螺旋定则确定。

求出 H 后,利用式(6.5.14)可以求得 $B = \mu_0 \mu_1 H$ 或 $B = \mu H$

例题 6-10

如图 6-29 所示,截面半径为 R 的无限长圆柱形导体,其外是一层相对磁导率为 $\mu_r$ ,内、外半径为 R、 $R_1$ 的磁介质。当导体均匀通过电流 I 时,求导体和磁介质内的 H、B、M(在导体内 $\mu_r=1$ )。

解: 当电流为 I 的电流均匀通过导体时,导体任意横截面的电流密度大小为 $J=I/(\pi R^2)$ 。考虑到本题中磁场具有轴对称性,即在任意垂直于轴线的横截面上,所有磁场 H 数值相等的点,都位于以轴线为心的同心环上,因此可以在该平面上分别在导体和磁介质内取半径为r的同心圆环作为积分

回路 l,由式 $\oint_{l} H \cdot dl =$ $\Sigma I$ ,通过积分,得到导体内的磁场强度的大小 $H_{1}$ 为

例题 6-10 图

$$H_1 2\pi r = \pi r^2 \frac{I}{\pi R^2}$$

因此

$$H_1 = \frac{Ir}{2\pi R}$$

由式(6.5.14)得到导体内的磁感应强度 $B_1$ 的大小为

$$B_1 = \mu H_1 = \frac{\mu_0 Ir}{2\pi R}$$

由式(6.5.15)得到导体内磁化强度 $M_1$ 的大小为

$$M_1 = \chi_m H_1 = (\mu_r - 1) H_1 = 0$$

用同样的方法可以得到磁介质内的 $H_2 \ B_2 \ M_2$ 为

$$H_2 = \frac{I}{2\pi r}$$

, $B_2 = \mu_0 \,\mu_r H_2 = \frac{\mu_0 \mu_r I}{2\pi r}$ , $M_2 = \frac{\mu_r - 1}{2\pi r} I$

6.5.7 铁磁质

1. 铁磁质简介

铁磁质材料有如下特点:① 任何铁磁质材料都存在一个特征温度,该温度称为居里温度。当铁磁质材料在居里温度以下被磁化后,其内部所产生的附加磁感应强度 B',不仅与外磁场 $B_0$ 方向相同,而且其数值也成百上千倍地大于 $B_0$ ;② 作为磁感应强度 B 与磁场强度 B 比值的磁导率 $\mu$ ,不再是一个常量, $\mu$ 与 B 有着更为复杂的关系;③ 在撤掉外磁场后,铁磁材料的磁性不能同时消除,如果要消除铁磁材料的磁性,须对其加适当的反向磁场。

铁磁质的这些性质可以通过实验验证。将充满某种铁磁质的螺绕环与一个电流大小可以调节、电流方向可以控制的电源相连接,如图 6-30(a) 所示。通过改变电流 I ,并利用 H=nI( 由于单位长度上的匝数 n 为一常量),即知道了 I 就等于知道了磁场强度,再利用适当仪器探测出与 H 相对应的 B 值,即可绘出如图 6-30(b) 所示的 H-B 曲线。

观察 H-B 曲线,由 O 到 S 这段曲线称为起始磁化阶段,而其中 Oa 阶段称为初始磁化阶段,ab 阶段称为急剧磁化阶段,到了 bc 阶段磁化开始变得缓慢,而在 cS 阶段磁感应强度 B 几乎不再随着 H 的增大而增大,则该阶段称为饱和磁化阶段。当磁化进入饱和状态后,逐步减小 H,B 随之相应地减小。但是,其过程并不沿起始磁化曲线返回,而是沿另外一条曲线 Sk 进行,如图 6-31(a) 所示。当H=0 时, $B=B_r$ ,称 $B_r$ 为剩余磁感应强度。此时若撤去外磁场 H,铁磁质物质将成为一个永磁体。要去掉铁磁材料中的 $B_r$ ,也就是使铁磁材料退磁,须 H 反向。

当反向 H 的数值逐渐增加,直至 $H = -H_c$ 时,铁磁材料中的 剩磁才被去掉,即此时铁磁材料内的磁感应强度 $B = 0, H_c$ 称为矫

(b) 图 6-30 铁磁质的性质

顽力。继续反向增大 H 的数值,材料被反向磁化,直至材料又达到反向饱和态 S'。再逐步减小反向 H 的数值,材料中的 B 值随之减小,但过程仍不能沿着原曲线回溯,而是沿一条新的曲线由 S'到 e , e 点处 H 又一次为零,而材料又有了剩磁 -B , 其数值与 k 点处相当。再反转 H 使之为正值,并逐渐增大,反向的剩磁又被减小,直至 $H=H_e$ ,即 f 点处,材料中的磁化才完全消失。 $H_e$ 与 $-H_e$ 数值相等,同为新顽力。进一步增大 H , 磁化沿曲线 f 的 f 到 f 点处,整个过程形成一闭合曲线。由于铁磁材料在磁化、退磁过程中,f 总是落后 f 的变化,故称这一曲线为磁滞回线。

不同的铁磁质材料,对应不同形状的磁滞回线。有的磁滞回线宽些,有的窄些。"宽"形曲线矫顽力 $H_c$ 较大,剩磁 $B_r$ 较强,通常将 $H_c$ 值在 $10^2 \sim 10^4$ A·m^-1范围的铁磁质叫作硬磁材料;而"窄形"曲线 $H_c$ 较小,剩磁 $B_r$ 小,通常将 $H_c$ 的值在 $10^{-2}$ A·m^-1附近的铁磁质叫作软磁材料,如图 6-31(b)所示。另外,磁滞回线所围"面积"的大小反映了铁磁质在磁化、退磁过程中消耗能量的大小。一般说来,"面积"越大,消耗能量就越大。所以,在一般情况下,硬磁材料较软磁材料在磁化过程中要消耗更多的能量。

从磁滞回线还可以看出,材料中的 B 和 H 不再是单值线性 关系,利用 $B/H=\mu$ ,可以绘出图 6-32 所示 $H-\mu$ 曲线,图上的 $\mu$ , 称为起始磁化率,对应图 6-30 H-B 曲线的 Oa 段, $\mu_i=\lim_{H\to 0}\frac{B}{H}$ 。而 $\mu_m$ 称为最大磁导率,对应 H-B 曲线中磁化最剧烈的 ab 阶段, $\mu_{max}=\mu_m=\left(\frac{B}{H}\right)_{max}$ 。由于磁化曲线 Oa 段是可逆的,所以 $\mu_i$ 是铁磁质在高频下工作的主要参量,而 $\mu_m$ 是设计低频电器的重要参量。

软磁材料用于制造电感元件,如变压器、镇流器、发动机、发电机、继电器等设备的铁芯,硅钢、坡莫合金和纯铁都属于软磁材料;硬磁材料,可以制造永磁铁、扬声器等,铬、钨、钴、镍等都属硬磁材料。

2. 铁磁质磁化的本质——磁畴

铁磁质的磁化依赖于原子中电子的自旋磁矩。在一种特殊的相互作用下(这种作用超出本书的范围,故不作介绍)使相邻原子的磁矩在一个小区域中耦合在一起,形成严格的平行排列。这个小区域称为磁畴。一个磁畴所占区域的大小为 10^-18 ~ 10^-12 m³,其中包含 10¹⁷~10²¹个原子。为了叙述方便,在此称磁畴中磁矩的方向为磁畴的方向。可以认为,整个铁磁材料是由这些大小不

图 6-31 磁滞回线

图 6-32 H-μ 曲线

磁畴

式中

一、方向不同的磁畴构成,如图 6-33 所示,也正是由于磁畴的方 向各不相同,才使得未经磁化的铁磁质在宏观上不显磁性。

在铁磁质被磁化的过程中,磁畴会产生两种变化,其一是磁 畴壁的移动,其二是磁畴方向的转动。

当铁磁质开始磁化时,与外磁场方向相同或接近相同的磁畴 会挤占与其相邻的其他取向磁畴的领地。同向的磁畴壁向外移 动从而扩大自己的领地。图6-30中 H-B 曲线的 Oa 段就是反映 了这种过程,这时磁畴壁刚刚开始移动,尚属可逆阶段,倘若及时 撤除外磁场,磁畴还能回复到原来位置。当进一步增大 H,磁畴 壁的移动进一步加剧,此时磁畴壁的移动就不可逆了。这个过程 对应于图 6-30 中 H-B 曲线 ab 段。随 H 的不断增加,原来与外 磁场方向不同的磁畴也纷纷向外磁场方向转向。图 6-30 中 H-B 曲线的 bc 段反映出这种情况。图 6-33 示意出磁畴的运动。

当磁畴壁的移动和转向均已完成后,铁磁质就呈现出饱和状 态,此时由于所有磁矩几乎都向外磁场方向整齐地排列起来,所 以饱和磁感应强度 $B_s$ 会远大于顺磁质中的 B。在撤掉外磁场 后,铁磁内部仍存在阻碍磁畴排列复原的力,这就是磁滞现象的 产生原因。

658 磁场的边界条件

描述磁场的两个物理量B和H,在两种不同的磁介质分界面 附近所满足的关系式称为磁场的边界条件。

为了研究B的边界条件,作一个包含分界面S的扁平状柱形 高斯面,如图 6-34 所示。柱的高度为 $\Delta h$ , $\Delta h$ 极小, 趋近于零。 当 B 为有限值时,可以认为在高斯面的侧面上没有磁感应强度 B 通过。高斯面上、下两端面面积均为 $\Delta S$ , $\Delta S$ 很小, 以保证高斯面 所包含分界面S的部分很小,近似一个平面。高斯面上、下两端 面的单位法线矢量分别为 en、en。设穿过高斯面上端面的磁感 应强度为 $B_1, B_1$ 与 $e_0$ 的夹角为 $\alpha_1$ ;穿过高斯面下端面的磁感应 强度为 $B_2$ , $B_3$ 与 $e_{a2}$ 的夹角为 $\alpha_2$ , 应用磁场中的高斯定理, 得

$\text{コ}$

$$\oint \mathbf{B} \cdot d \mathbf{S} = \int_{\text{上端面}} \mathbf{B}_{1} \cdot d \mathbf{S} + \int_{\text{下端面}} \mathbf{B}_{2} \cdot d \mathbf{S} = 0$$ $$B_{1} \cos \alpha_{1} \Delta S + B_{2} \cos \alpha_{2} \Delta S = 0 \quad (6.5.16)$$ $$\cos \alpha_{1} = \cos (\pi - \alpha_{1}') = -\cos \alpha_{1}'$$ $$\cos \alpha_1 = \cos(\pi - \alpha_1') = -\cos \alpha$$ $$B_1 \cos \alpha_1 = -B_1 \cos \alpha_1' = -B_{1n}$$ $$B_2 \cos \alpha_2 = B_{2n}$$

式中, $B_{1n}$ 、 $B_{2n}$ 分别表示 $B_1$ 、 $B_2$ 的法向分量,代人式(6.5.16)有 $-B_{1n}\Delta S + B_{2n}\Delta S = 0$

即

$$B_{1n} = B_{2n} \tag{6.5.17}$$

上式说明,在两种磁介质的分界面附近,磁感应强度的法线 方向是连续的。

为了研究 H 的边界条件,选择一个包含分界面的矩形积分回路 abcda,如图 6-34(b) 所示,其中 ab、cd 是矩形的长边,其长度为 l,l 很短以保证矩形回路所包含分界面的部分是一条直线,且与 l 边平行;bc、da 为矩形的高,其值极小,趋近于零,所以作为有限值的 H 沿这两条路径的积分为零;又由于闭合回路中没有包含传导电流,按照磁介质内的安培环路定理式(6.5.13),H 沿整个回路的积分为零,即

$$\oint_{abcda} \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \int_{a}^{b} \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} + \int_{c}^{d} \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = H_{1} \sin \alpha_{1} l - H_{2} \sin \alpha_{2} l = 0$$

(6.5.18)

以 $H_1$ ,和 $H_2$ ,分别代表 $H_1$ ,和 $H_2$ ,的切向分量,即

$$H_{11} = H_1 \sin \alpha_1, H_{21} = H_2 \sin \alpha_2$$

将它们代入式(6.5.18)后,得

$$H_{11} = H_{21}$$

(6.5.19)

该式说明,在两种磁介质分界面处,其磁场强度 H 的切向分量连续。由 $H=B/\mu$ 得

$$\frac{B_{1t}}{\mu_1} = \frac{B_{2t}}{\mu_2} \tag{6.5.20}$$ $$\mu_1 H_{1n} = \mu_2 H_{2n} \tag{6.5.21}$$

由式(6.5.20)、式(6.5.21)可知,两磁介质分界面附近 B 的切向分量及 H 的法向分量是突变的。

式(6.5.17)、式(6.5.19)、式(6.5.20)、式(6.5.21)即为磁场的边界条件。

下面对磁屏蔽进行讨论。由图 6-34 可知

$$\frac{B_{1t}}{B_{1s}} = \tan \alpha_1', \quad \frac{B_{2t}}{B_{2s}} = \tan \alpha_2$$

利用式(6.5.17)、式(6.5.20)得

$$\frac{\tan \alpha_1'}{\tan \alpha_2} = \frac{\mu_1}{\mu_2} \tag{6.5.22}$$

上式说明,当 B 穿过两介质的分界面时,其方向要发生变化,仿佛光线的折射。当磁感应强度 B 由相对磁导率 $\mu$ , 较大的磁介质

向相对磁导率 $\mu$ . 较小的磁介质传播时, B 与 e. 的夹角变小, B 更 靠近法线,反之则更远离法线。利用这种磁感应线的折射现象, 可以对 B 进行屏蔽。如图 6-35 所示, A 为软磁材料制成的空腔, 其相对磁导率 $\mu_{11}$ 远大于空气中的相对磁导率 $\mu_{22}$ , 当将其放置在 有磁场存在的空气中时,由空气进入腔壁的 B 就会偏离法线,强 烈地收缩干腔壁内,而空腔内几乎没有磁场 B,因此起到了磁屏 蔽的作用。

思考题与习题

• 6.1 电流与电流密度有何不同,又有何联系?
• 6.2 电动势与电势差有何不同?
• 确定地球的磁偶极矩?
• 6.4 方程 dF=IdI×B 中的三个矢量,哪些矢量始 终正交?哪些矢量之间可以有任意角度?
• 6.5 磁感应线和电场线在表征"场"的物理性质 方面有哪些相似之处?
• 6.6 在磁场中,任意条给定的磁感应线上各点 处磁感应强度 B 的数值是否相同?
  • 6.7 磁场的高斯定理反映了磁场的哪些性质?
• 6.8 利用安培环路定理,是否可以求出任何电 流回路在空间某处产生的磁感应强度?
• 6.9 把两种不同的磁介质放在磁铁的两个不同 名磁极之间,磁化后也成为磁体,但两极的位置不同, 如图所示,试指出哪一种是抗磁质?

S N S N N

顧 6.9 图

6.10 有两根铁棒,不论把它们的哪端相互靠 近,可以发现它们总是相吸引,你能得出什么结论?

6 11 地球北极的磁场 B=6×10^-5 T, 如果想环赤 6.3 试猜测地球磁场形成的原因,用什么方法 道形成一电流来抵消这一磁场,试估算电流的大小和 方向。

6 12 如图所示,有电流/沿导线从无限远处流 来,在 O 处转折 $120^{\circ}$ ,向无限远流去,求 $P_{\circ}$ 、 $P_{\circ}$ 点的磁 感应强度。P, 点在 MO 的延长线上,P, 点在载流线夹 角的角平分线上,且有 P, M=d, P, O=b, 若 I=1 A, d=0.50 m,b=0.60 m。试给出数值结果。

6.13 求图中(a)、(b)、(c)所示情况下 0 点的 磁感应强度。

题 6.13图

6.14 如图所示,有半径为 R 的薄无限长半圆柱面,沿母线方向均匀流过电流 I,求轴线上一点处的磁感应强度 B。

题 6.14 图

• 6.15 通有 20 A 电流的长直导线折成直角沿 x、y 轴放置,如图所示,试求:
• (1) 在 x 轴上距原点 O 为 2 m 的 Q 点处的 B 是 多少?
• (2) 在 z 轴上距原点 O 为 2 cm 的 P 点处的 B 是 多少?

题 6.15图

6.16 如图所示,一长导线在中部弯成图示形状,两端各延伸于很远处,圆弧半径为 r,通以电流 I 后,试求 P 点处的磁感应强度。

6. 17 如图所示,自粗细均匀的圆形导线上的任意两点 P、Q 处沿半径方向引出两条直导线,而导线在无限远处与电源相接,证明圆形导线中心 O 点的磁感应强度为零。

题 6.17图

6. 18 如图所示,两个半径为R的圆形线圈平行放置,相距为l,并通以流向相同的电流I(称为亥姆霍兹线圈),问在距离它们中心O点x处的磁感应强度是多少?并证明当l=R时,O点附近的磁场最为均匀。

• 6. 19 如图所示,半径为 R 的绝缘盘均匀带电, 电荷面密度为 σ,圆盘绕垂直盘面通过盘心的轴以角 速度 ω 匀速转动,求轴线上任意点的磁感应强度和转 盘的磁偶极矩。
• 6.20 如图所示,均匀带电刚性绝缘细杆 AB,其长为l,电荷线密度为 $\lambda$ ,绕垂直于直线的轴O以角速度 $\omega$ 匀速转动(O点在细杆延长线上)。求:
  • (1) 0 点处的磁感应强度;
  • (2) 磁矩。

6.21 如图所示,一半径为 R 的球面上均匀分布 时,求在球心处的磁感应强度的大小。

• 6.22 如图所示,有内半径为 $R_1$ 、外半径为 $R_2$ 的 无限长导体圆管,通以均匀的电流 1,求空间各区域的 磁感应强度。
• 6.23 如图所示,一厚度为 d 的无限大导体平 板,沿同一方向通过均匀电流,电流密度大小为 J,求 | 导体内外的磁感应强度。

6.24 如图所示,一半径为 R 的无限长导体圆 柱,在距离轴线 d 处,挖掉半径为 $r_0(r_0<0)$ 的小圆柱, 着面密度为 σ 的电荷, 当它以角速度 ω 绕直径旋转 两圆柱轴线相互平行, 余下部分沿轴向流过均匀电 流,电流密度为 J,求:

• (1) 大圆柱轴线上的磁感应强度;
• (2) 空圆柱轴线上的磁感应强度;
• (3) 证明空圆柱内为均匀磁场。

题 6.24 图

• 6.25 如图所示,一同轴电缆,内导体半径为 r1, 电流为 1; 外导体的内、外半径分别为 r2 和 r3, 电流为 1,但方向与内导体电流方向相反。同轴电缆的截面如 图所示,求以下各处磁感应强度:
  • (1) 两导体之间;
  • (2) 外导体以外;
  • (3) 外导体中。

颞 6.25图

6.26 如图所示,在均匀磁场 B 中,在垂直于 B 的平面上放置电阻率较大的导线构件,从端点输入总电流 I,求 MA、等边三角形 ABC、半圆形 CND、及直线 CD、DE 各部分所受安培力。

6.27 一半径为 4 cm 的圆环,放在非均匀磁场中,环上各处磁场方向对环而言是对称发散的,如图所示,圆环所在处的磁感应强度大小是 0.1 T,磁场方向和环面法向成 60°角,当圆环上电流为 15.8 A 时,求圆环所受合力的大小和方向。

• 6. 28 半径为 15. 2 cm 的平面线圈 N=100 匝,通有电流 I=6. 28 A,求带电线圈的磁矩是多少?
• 6.29 截面积为 S,密度为 ρ 的铜质直导线,其中 一段被折成边长为 l 的正方形的三个边,如图所示,可

绕水平轴转动,导线放在方向为竖直向上的匀强磁场中,当导线中的电流为 I 时,导线偏离原来的竖直位置而转一角度 $\alpha$ 后平衡,求磁感应强度 $B(S=2.00 \text{ mm}^2, \rho=8.90 \text{ g} \cdot \text{cm}^{-3}, \alpha=15^{\circ}, I=10 \text{ A})$ 。

6.30 电流计线圈长 4.00 cm, 宽为 2.00 cm, 共600 匝, 有强度为 10^-6 A 的电流通过, 设磁感应强度大小为 0.05 T, 线圈法线与磁场垂直, 试求线圈所受力矩。

6.31 如图所示,在一个通有电流 I 的闭合回路 abcda 中,ab 是一段可滑动的导体,长度为 l,回路平面 与一磁感应强度为 B 的均匀磁场垂直,若保持电流不变,试证当 ab 向右滑动 $\Delta x$ 时,安培力 F 所做的功为 $\Delta W = I\Delta \Phi(\Delta \Phi)$ 为通过回路的磁通量变化)。

6.32 设一载流线圈在勾强磁场内转动,若保持线圈中的电流 I 不变,试证,当线圈在安培力作用下转过角度 $\Delta \theta$ 时,磁力所做的功为 $\Delta W = I \Delta \Phi$ ( $\Delta \Phi$ 为穿过线圈的磁通量的变化)。

6.33 如图所示,有宽度为 a 的无限长薄导体板,均匀流过电流 I,现将其折成直角,现有一带电荷量为-q,速度为 $v=v_z$ $i+v_z$ $j+v_z$ k 的粒子通过 P点,求粒子动量变化的速率 $\frac{dp}{dt}=?$ P点距 O点为 d+a。

题 6.33图

• 6.34 已知电子电荷量 e=1.6×10^-19 C,当电子进 人 B=800 G 的磁场中时,具有速度为 1.2×10⁷ m·s^-1, 方向与磁感应线夹角分别为(1)30°,(2)60°,(3)90°。 求各种情况下,电子所受的洛伦兹力。
• 6.35 如图所示,一束氯原子的同位素离子(它是含有质量为35 u和37 u的混合物,而1 u=1.67× $10^{-27}$ kg)垂直进人 B=0.5 T的磁场,所有离子具有2.0× $10^{5}$ m·s^-1的相同速率,在磁场中偏转180°后,这些离子打在照相底片上,试求离子束在底片上分离开的距离。

题 6.35 图

6.36 横截面 $S=d\times b=(0.4\times 10^{-2})\times (0.1\times 10^{-3})$ m² 的带状银质导线,通有电流 5 A,有 1 T 的磁场垂直于横截面,如图所示。求霍尔电动势。(银的密度 $\rho=10.5$ g·cm^-3,银的摩尔质量为 M=0.108 kg·mol^-1。)

• 6.37 一细铁环的中心线周长为 36 cm, 横截面积为 0.8 cm², 在环上绕有N=400 匝线圈, 当线圈中通过 I=24 mA 的电流时, 通过截面的磁通量 $\Phi=3\times10^{-6}$ Wb。求环内 B、H、M 的大小及铁环的磁化率 $X_m$ 和相对磁导率 $\mu$ 。
• 6.38 铝的相对磁导率 $\mu_r = 1.000023$ ,铜的相对磁导率 $\mu_r = 0.999912$ ,试求它们的磁化率 $\chi_m$ 并指出它们属于哪种磁介质。
• 6.39 一根沿轴向均匀磁化的棒,直径为 25 mm, 长为 75 mm, 磁矩为12 000 $\text{A} \cdot \text{m}^2$ 。求棒的磁化强度大小 M 及侧面上的分子电流面密度 $i_a$ 。
• 6. 40 在一个原子内,原子核的电荷量为 Ze,试求当一个电子绕核半径为r的圆形轨道上运动时的轨道磁矩 $m_r(Z)$ 为原子核中的质子数)。
• 6.41 某截面为矩形的螺绕环,其平均周长为 0.1 m,横截面积为 0.5×10^-4 m²,线圈匝数为 N=200 匝,当通过电流 I=0.1 A 时,测得穿过矩形横截面的 磁通量 $\Phi=6\times10^{-5}$ Wb。计算该螺绕环所填充的磁介质的相对磁导率。
• 6.42 一根磁棒,体积为 $0.01 \text{ m}^3$ ,磁矩为 $500 \text{ A} \cdot \text{m}^2$ ,棒内 $B = 5.0 \times 10^{-4} \text{ T}$ ,求棒内的磁场强度。