2.6 进动

质量分布对称于自身转轴的刚体称为回转体。回转体围绕自身转轴高速旋转时,具有某些特殊的性质。先来看一个常见的例子,如图 2-22 所示,儿童玩的陀螺在高速转动时,可以直立不倒,而且当其自身轴线偏离竖直方向时,其自身轴线会围绕竖直线(图中的 00′)旋转,并以 0 为顶点画出一个锥面来。这种现象称为进动。这种现象的产生是由于重力矩的作用。回转体受外力矩作用产生进动的现象称为回转效应。

对于回转效应,可用一个稍简单一点的演示实验来说明。如图 2-23 所示,一个圆盘绕自身水平轴以角速度 ω 旋转,球状轴端 0 放在竖直支架上端的凹槽内。实验时看到,圆盘在绕自身水平轴旋转的同时,圆盘的自身转轴还以 0 为圆心在水平面内旋转,并不会因为重力的作用而倾倒。这个现象可以采用质点系相对定点的角动量定理来解释。刚体实际上可以看成是由许许多多质元组成的质点系,对于刚体,质点系相对定点的角动量定理同样适用,将这个定理的表达式(1.5.8)重新写在这里

$$\mathbf{M} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} \tag{2.6.1}$$

式中,合外力矩 M 和角动量 L 都是相对同一参考点的。按图 2-23 中所画的圆盘旋转方向,圆盘相对 O 点的角动量 L 的方向沿自身转轴且背离 O 点向外(注意只有当刚体的质量分布对称于转轴时,角动量才会沿轴向),重力作用于圆盘的圆心 C 点上(为简单起见,忽略圆盘自身转轴的质量,这并不影响讨论结果),相对 O 点的重力矩 M 方向垂直于 L 并处在水平面内。当圆盘自身转轴在水平面内绕 O 旋转时,重力矩 M 的方向随之旋转,时刻保持与 L 垂直且处于水平面内。圆盘相对 O 点的角动量 L 以及重力矩 M 可以表示为

$$L = I\omega, \quad M = r \times mg \tag{2.6.2}$$

式中,I是圆盘绕自身转轴的转动惯量,r是重力作用点 C 相对

NOTE

图 2-22 陀螺的进动

图 2-23 圆盘的进动

图 2-24 进动角速度

0 占的位矢 m 是圆盘的质量。图 2-24 是图 2-23 的俯视图, 设 t 时刻圆盘相对 O 点的角动量 L 方向向右,根据式(2.6.1), 经过 dt 时间,角动量的增量为

$$dL = Mdt \tag{2.6.3}$$

dL 的方向与重力矩 M 方向一致。因为 M 与 L 垂直,所以 dL 也与 L垂直,由于 dL 的值很小,所以 t+dt 时刻的角动量 L+dL 相比 t 时刻 的角动量L 而言,大小不变,仅仅是方向转过了一个微小角度 $d\theta$ 。也 就是说,重力矩M的作用不改变角动量L的大小,只改变L的方向。 而由式(2.6.2)可知,M与L始终保持垂直,所以角动量L的大小始 终不变,方向则以角速度 $d\theta/dt$ 在水平面内旋转,从而形成进动。

下面来看数量关系:因为 $Mdt = dL = Ld\theta = I\omega d\theta$ , 所以进动角 速度 $\Omega$ 表示为

$$\Omega = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \frac{M}{L} = \frac{mgr}{I\omega} \tag{2.6.4}$$

可见, 当圆盘自转角动量一定时, 进动角速度与合外力矩成正比。 图 2-23 所示的演示实验还有一个现象,在圆盘进动的同时, 圆盘的自身转轴一般还会上下做周期性的摆动,但摆幅较小,这 一现象称为章动。理论分析已经超出本课程范围,不再讨论。

关于玩具陀螺的分析讨论与上面情况类似,只是稍繁琐些, 此处从略。

回转效应有时也会带来不利影响,例如螺旋桨是一个回转 体,早期的单螺旋桨飞机在拐弯时,气流在机翼上产生的力矩会 使机头上抬或下沉,从而增加飞机的操控难度。

图 2-25 炮弹的进动

思考题与习题

• 2.1 刚体在某一力矩的作用下绕定轴转动,当 位置( $\theta=\pi/2$ )。在这两种情况中: 力矩增加时,角速度和角加速度的大小怎样变化? 当 力矩减小时,角速度和角加速度的大小又怎样变化?
• 2.2 将细棒的一端连接到水平光滑固定轴上, 使其能在竖直面内自由转动。第一次将其拉开与竖 直方向成某一 $\theta$ 角( $0<\theta<\pi/2$ );第二次将其拉到水平

位置( $\theta = \pi / 2$ )。在这两种情况中:

• (1) 放手的那一瞬间,棒的角加速度是否相同?

• (2) 棒转动的过程中, 角加速度是否恒定?

• 2.3 计算一个刚体对某转轴的转动惯量时,一 般能不能把它的质量集中于其质心,然后算这个质点 对转轴的转动惯量? 举例说明。

• 2.4 有一圆柱体在水平地面上做纯滚动,下面 用三种方法来计算它的总动能:

  • (1) $E_{k} = \frac{1}{2} I_{p} \omega^{2}$ ;
  • (2) $E_k = \frac{1}{2} m v_c^2 + \frac{1}{2} I_c \omega^2$ ;
  • (3) $E_{k} = \frac{1}{2} I_{c} \omega^{2}$

式中 $I_r$ 是通过瞬时轴的转动惯量 $I_c$ 是通过质心对称轴的转动惯量 $v_c$ 是质心的平动速度。问哪些方法是正确的?

• 2.5 一个水平圆盘以一定的角速度绕过圆心的 竖直轴转动。今在其上放置另一个原来不动的圆盘, 使两盘的平面平行,圆心共轴,由于接触面之间有摩 擦力使两盘以相同的角速度转动。问放置前后两盘 的总动能是否相同?总角动量是否相同?为什么?
• 2.6 一匀质细棒可绕过其质心的竖直光滑固定轴在水平面内自由转动。一颗子弹沿水平方向飞来射人棒中,使原来静止的棒开始转动,如果将子弹与棒组成系统,这个系统在子弹射人棒之前似乎没有转动状态,子弹对棒作用的力矩属于系统内力矩。这样,似乎与角动量守恒定律相矛盾,如何解释?
• 2.7 一匀质细棒两端各用一绳将其水平悬挂于 天花板上,如果一绳突然断掉,在断掉后的瞬间,另一 绳受力多大?
• 2.8 圆柱体在水平力 F的作用下,在水平面上

沿力的方向做纯滚动。当 力的作用线与水平面之间 的距离 x 与圆柱体半径 R 之间分别满足什么条件 时,可以使圆柱体与水平 面之间的静摩擦力的方向 向前?向后?等于零?

2.9 一汽车发动机以 500 r·min^-1的初角速度转动,加速后在 5 s 内角速度增大到 3 000 r·min^-1,设角加速度恒定。问:

• (1) 角加速度是多少?
• (2) 在加速时间内发动机转了多少转?
• (3) 发动机飞轮的直径是 0.5 m, 当角速度为 1500 r·min^-1时,飞轮边沿上一点的线速度是多少? 切向加速度是多少? 法向加速度是多少?
• 2.10 汽车以 60 km·h^-1的速度行驶,其车轮直径为 0.5 m,试求:
  • (1) 车轮绕轴转动的角速度;
• (2) 若汽车勾减速停止用时 10 s,其角加速度是 多少?
  • (3) 在刹车期间,车前进了多远?
• 2. 11 一质量分布均匀的盘状飞轮质量为50 kg、半径为 1.0 m,转速为 $300 \text{ r} \cdot \text{min}^{-1}$ ,在一恒定的阻力矩 M,作用下,50 s后停止。求飞轮角加速度 $\beta$ 和阻力矩 M.。
• 2.12 如图所示,一细棒与一圆盘固定连接,细棒长为l、质量为m;圆盘半径为R、质量为m'。求细棒与圆盘整体绕过O点、垂直图面的轴的转动惯量。

题 2.12图

• 2.13 如图所示,一轻质不可伸长的绳子缠绕在质量为 m′、半径为 R 的定滑轮上,绳子下端与一质量
• 为 m 的物体相连。设滑轮轴 承光滑,绳与滑轮之间无相对 滑动,滑轮初态静止。
• (1) 求滑轮的角加速度以 及物体速度与时间的关系;
• (2) 若去掉物体 m,换成一向下的拉力 F,大小为 mg。 求滑轮的角加速度并与上面结 果比较。

题 2.13图

2.14 如图所示,在倾角 $\theta=30^\circ$ 的固定斜面顶端有一质量 m=20 kg、半径R=0.2 m 的定滑轮,滑轮绕其中心转轴的转动惯量为 $mR^2/2$ ,斜面上有一质量 $m_1=5$ kg 的物体经一不可伸长的轻绳连接跨过滑轮与另一质量 $m_2=10$ kg 的物体相连。设斜面与 $m_1$ 之间的动摩擦因数 $\mu_k=0.25$ ,滑轮轴上摩擦可忽略,绳与滑轮之间无相对滑动。求物体运动的加速度 a 及绳中的张力 $F_{T1}$ 与 $F_{T2}$ 。

2.15 如图所示,安装在固定光滑水平轴上的鼓轮由大小两个圆盘固连组成,两个圆盘上各自绕有绳索,绳端分别挂有一物体。挂在小圆盘上的物体质量 m=2 kg,挂在大圆盘上的物体质量为 3m;小圆盘半径 R=0.05 m、质量为 m;大圆盘半径为 2R、质量为 2m。求鼓轮的角加速度与每根绳中的张力。

题 2.15图

• 2.16 一质量为 m、半径为 R 的匀质薄圆盘,在 水平平面上绕通过其圆心且垂直于盘面的轴转动。 圆盘与平面间的动摩擦因数为 μ, 。试求:
  • (1) 平面对圆盘的摩擦力矩:
• (2) 从角速度为 ω₀ 开始计时, 圆盘经过多长时间 停止转动?

2. 17 如图所示,一根均匀的细木棒 AB 放在光滑的圆柱形玻璃杯中,杯的直径为 0.1 m,棒长 0.15 m,棒的质量 0.050 kg,求杯壁对木棒的作用力 $F_1$ 和 $F_2$ 。

题 2.17图

2.18 如图所示,在墙角放有一半径为 R 的圆柱体,它与所有接触壁面间的静摩擦因数均为 1/3。若施加一外力 F 于圆柱体,此力的大小恰等于圆柱体重量的 3 倍,则沿竖直方向此外力的作用线与该圆柱体轴线间的距离 d 至少为多大,才能使圆柱体开始顺时针方向旋转?

题 2.18图

• 2.19 如图所示,一圆盘的质量为 50 kg,半径为 1.80 m,可绕通过圆心垂直盘面的水平光滑轴旋转。一根不可伸长的轻绳一端缠绕在圆盘上,另一端悬挂一个质量为 2 kg 的物体。求:
  • (1) 绳中张力多大?

题 2.19图

• (2) 从静止开始转动 5 s 后,张力的力矩对圆盘做了多少功?这时圆盘的动能多大?
• 2.20 如图所示,轻弹簧的劲度系数 k=2 N·m^-1,不可伸长的轻绳一端与弹簧相连,另一端跨过定滑轮与质量 m=1 kg 的物体相连。滑轮半径 R=0.10 m,绕其转轴的转动惯量 I=0.01 kg·m²。设绳与滑轮之间无相对滑动,空气及滑轮轴上的阻力可忽略。初态弹簧无形变且物体静止。求物体下落 1 m 时的速度大小。

题 2.20图

• 2.21 一圆盘的质量为 50 kg,半径为 1.80 m,能绕它的中垂轴旋转。用一个 19.6 N 的恒力施于圆盘的边缘上,恒力始终与圆盘半径垂直。试求圆盘转动的角加速度、从静止开始转动后 5 s 内的角位移及这时圆盘相对轴的角动量。
• 2.22 如图所示,长为 21、质量为 m'的均匀细棒 放置在光滑水平面上,可绕过棒的质心并与水平面垂 直的轴转动,轴承光滑。现有一质量为 m 的子弹以速 度 v。沿水平面垂直入射至棒的端点。求:
• (1) 若子弹穿出棒端后的速度为 $v_0/3$ ,棒的角速度?
• (2) 若子弹嵌入棒端不穿出,棒与子弹的共同角速度?

题 2.22图

2.23 如图所示,转台绕中心竖直轴以角速度 ω。

匀速转动,转台对该转轴的转动惯量 $I_0 = 5 \times 10^{-5} \text{ kg} \cdot \text{m}^2$ 。 今有沙粒以 $q = 1 \text{ g} \cdot \text{s}^{-1}$ 的速度落人转台,沙粒黏附在转台面上形成一半径 r = 0.1 m 的圆形。当沙粒落到转台上后,转台的角速度要变慢,试求当角速度减到 $\omega_0/2$ 时所需的时间。

顕 2, 23 图

• 2.24 光滑的匀质细杆长为 21、质量为 m'。杆上穿有两个质量都是 m 的小球,小球由细绳连接并位于杆的中央。将细杆以角速度 ω 绕过其中心的竖直轴在水平面内旋转。突然将连接小球的细绳弄断,两小球会分开分别滑到杆的两端。这时细杆转动的角速度变成多大?整个系统的动能减少了多少?系统的机械能是否守恒? 计算时不计摩擦阻力和其他附属机构的转动惯量。
• 2.25 如图所示,质量为 m。、 边长为 l 的匀质正方形薄板,可自 由地绕一竖直边 00′转动,初态静 止。今有一质量为 m、速度为 v 的 小球垂直于板面撞在薄板的另一 竖直边边缘上,设碰撞为完全弹性 的,转轴光滑。求碰撞后薄板的角 速度以及小球的速度。方板绕其 一边的转动惯量为 I=ml²/3。

题 2 25 图

• 2.26 一个质量为 m、半径为 R 的圆柱体,静止 地放在一辆平板车上,使其轴线水平且与平板车的前 进方向垂直。设圆柱体与平板车之间的静摩擦因数 为 μ_α, 当平板车以匀加速度 a 开动时,求:

  • (1) 圆柱体做纯滚动的条件;

• (2) 圆柱体做纯滚动时,其质心相对于平板车的加速度。

• 2.27 一质量为 m、半径为 r 的匀质实心球体沿 倾角为θ的固定斜面向下做纯滚动,斜面与球体间的 体从同一条起滚线出发由静止开始往下做纯滚动。 静摩擦因数为μ。求球体质心的加速度,并找出只滚 不滑的条件。(球体绕过直径轴的转动惯量为 I_c = $2mr^{2}/5_{\odot}$

  • 2.28 斜面的倾角为 10°, 匀质圆柱体和实心球 当圆柱体前进了 0.1 m 时,球体才开始滚动。求在离 起滚线多远的地方,球体赶上了圆柱体?提示:圆柱 体和球体平行下滑,当两者质心坐标相同时,球体赶 上圆柱体。