2.4 刚体定轴转动的角动量定理与角动量守恒定律

文档:角动量守恒定律

图 2-16 刚体相对定轴的角动量

在质点力学中,讨论质点或质点系角动量定理及守恒律时, 所涉及的角动量和力矩一般情况下都是相对定点的。当刚体做 定轴转动时,刚体中的每个质元都是在自己的转动平面内做圆周 运动,所有质元做圆周运动的圆心处在同一固定轴上。因此,对 于刚体定轴转动来说,所涉及的角动量和力矩都是相对定轴的。 因此,对于刚体定轴转动来说,所涉及的角动量是相对定轴的。 在前面刚体定轴转动定律一节已经讨论过,刚体定轴转动所涉及 的力矩也是相对定轴的。这里首先讨论刚体相对定轴的角动量, 然后叙述刚体定轴转动的角动量定理与角动量守恒定律。

2.4.1 刚体相对定轴的角动量

在质点力学中,质点相对原点 O(定点)的角动量定义为 $L=r \times p = r \times mv$

将此定义应用于定轴转动刚体中,如图 2-16 所示,设刚体中某一质量为 $\Delta m_i$ 的质元在其转动平面内做圆周运动,圆心为该平面

与转轴的交点 O、半径为 $r_i$ 。 质元相对 O 点的位矢 $r_i$ 与质元的速度 $v_i$ 相互垂直,质元相对 O 点的角动量 $L_i$ 的大小为

$$L_i = r_i \Delta m_i v_i \sin 90^\circ = \Delta m_i r_i^2 \omega$$

式中,用到线量与角量关系式 $v_i = r_i \omega$ 。 $L_i$ 的方向与图中角速度矢量 $\omega$ 的方向一致。将上式对刚体中所有质元求和,得

$$L = \sum_{i} L_{i} = \sum_{i} \Delta m_{i} r_{i}^{2} \boldsymbol{\omega}$$

因为刚体相对转轴的转动惯量 $I=\sum_{i}\Delta m_{i}r_{i}^{2}$ ,所以

$$L = I\omega \tag{2.4.1}$$

应该注意:由于处在不同转动平面中的各个质元做圆周运动的圆心都在同一转轴上,所以求和所得的角动量是相对转轴而言的。式(2.4.1)表示,刚体相对某一定轴的角动量大小等于刚体相对该轴的转动惯量与刚体角速度大小的乘积。对于定轴转动来说,刚体沿轴向的角动量与角速度方向一致。式(2.4.1)与物体平动的动量p=mv相对应。

在前面讨论刚体定轴转动定律时曾有叙述,由于刚体定轴转动只有两个转向,在规定了转动正方向之后,力矩、角速度以及角加速度均可按标量处理。这里也一样,在人为规定转动正方向之后,若角动量与转动正方向一致则取正值;否则,取负值。式(2.4.1)即为标量式。

2.4.2 刚体定轴转动的角动量定理

刚体作定轴转动时,转动惯量I固定不变,转动定律可以表示为

$$M = I\beta = I \frac{d\omega}{dt} = \frac{d(I\omega)}{dt} = \frac{dL}{dt}$$ $$M = \frac{dL}{dt} \qquad (2.4.2)$$

即

此式表明,在定轴转动中,刚体所受的合外力矩等于刚体角动量的时间变化率。这称为两体定轴转动的角动量定理(微分形式)。应该注意的是合外力矩与刚体角动量都是相对同一固定转轴的。式(2.4.2)与物体平动的动量定理微分形式 F = dp/dt 相对应。

$$M dt = dL$$

设 $t_1$ 时刻刚体的角动量大小为 $L_1,t_2$ 时刻刚体的角动量大小为

$L_{10}$ 。将上式两边积分,得

$$\int_{t_1}^{t_2} M dt = L_2 - L_1 = \Delta L \tag{2.4.3}$$

此式表明,在定轴转动中,刚体所受的合外力的冲量矩等于刚体角动量的增量。这也称为刚体定轴转动的角动量定理(积分形式),或者称为哪体定轴转动的冲力矩定理。同样应该注意,合外力矩与刚体角动量都是相对同一固定转轴的。式(2.4.3)与物体平动的动量定理积分形式 $\int_{1}^{t_{2}} F dt = p_{2} - p_{1}$ 相对应。

刚体定轴转动的角动量守恒 定律

由式(2.4.2)或式(2.4.3)可知,当 M=0 时,有 $L_2=L_1$ 或 L= 常量。这表示在刚体定轴转动中,当合外力矩为零时,刚体的角动量守恒。仍然要注意,这里的合外力矩与刚体角动量都是相对同一固定转轴的。对于定轴转动来说,刚体的转动惯量是定值,刚体的角动量守恒就意味着刚体的角速度保持不变。

2.4.4

含刚体系统定轴转动的角动 量守恒

以上仅就单个刚体做定轴转动时的角动量定理及守恒律进行了讨论。下面我们将研究对象稍作扩展,讨论含刚体系统定轴转动的角动量守恒问题。这里的含刚体系统是指由刚体以及一个或多个质点组成的系统。由于刚体可视为由许许多多质元组成的特殊质点系,所以含刚体系统实质上仍是一个质点系。当这样的物体系统绕共同的固定轴转动时,它们的角速度可以不同,甚至系统成员相对转轴的转动惯量也可以改变。讨论这个问题的理论基础是质点系的角动量定理及守恒定律。

将质点力学中相对坐标原点 O 的质点系角动量定理矢量式 (1.5.8),只取沿 z 轴的分量式,有

$$M_z = \frac{\mathrm{d}L_z}{\mathrm{d}t} \tag{2.4.4}$$

式中, $M_z$ 为质点系所受合外力矩沿 z 轴的分量, $L_z$ 为质点系总角动量沿 z 轴的分量。以下为简便,选取系统固定转轴为 z 轴,并略去式(2.4.4)中的下标 z,得到质点系相对固定转轴的角动量定理

$$M = \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \sum_{i} L_{i} \right) \tag{2.4.5}$$

此式表明:在定轴转动中,质点系所受的合外力矩等于质点系角动量的时间变化率。应该注意,这里的合外力矩和质点系的角动量都是相对同一固定转轴的。

由式(2.4.5)可知,在定轴转动中,当质点系所受合外力矩M=0时,质点系角动量 $\sum_{i}L_{i}$ =常量,即质点系相对定轴的角动量守恒。

上面提到,含刚体系统实质上仍是一个质点系,因此,上述结论对含刚体系统依然成立。刚体相对定轴的角动量大小已由式(2.4.1)给出。质点相对定轴的角动量可按如下考虑。

如图 2-17 所示,质量为 m 的质点在与 z 轴垂直的平面内运动(这样假设可使质点角动量的方向沿着 z 轴,若质点速度沿 z 轴有分量,则质点角动量的方向会偏离 z 轴)。设某时刻质点的速度为 v,相对该平面与 z 轴的交点 O 的位矢为 r,r 与 v 的夹角为 $\theta$ ,则该时刻质点 m 相对 z 轴的角动量大小为

$$L = rmv \sin \theta \tag{2.4.6}$$

式中, $v\sin\theta$ 是质点速度垂直位矢 r 方向的分量,按照平面极坐标系中的说法, $v\sin\theta$ 称为横向速度,根据式(1.1.24)和式(1.1.25),应有

$$v\sin\theta = r\omega$$

式中,ω 是位矢 r 随质点 m 运动时转动的角速度大小。将其代人 到式(2.4.6)中,得

$$L = mr^2 \omega = I\omega \tag{2.4.7}$$

式(2.4.7)表示,质点相对某一定轴的角动量大小等于质点相对该轴的转动惯量与相对该轴角速度大小的乘积。

式(2.4.6)和式(2.4.7)都是质点相对定轴的角动量表达式。式(2.4.6)还可以写成

$$L = mvd \tag{2.4.8}$$

式中, $d=r\sin\theta$ 表示质点速度所沿的直线与转轴的垂直距离。此式的实用性较强。

图 2-17 质点相对定轴的角动量

例题 2-12

如图 2-18 所示,一长为 l、质量为 m'的均质细棒可绕固定于细棒上端的水平光滑轴 O 在竖直面内自由转动。开始时,细棒处于竖直位置静止不动。现有一质量为 m 的子弹,以水平速率 v 射入细棒,射入点与轴 O 距离为 d(d < l),子弹穿出细棒后的速率为 v/3。求:细棒经过子弹击穿后所能摆起的最大角度(细棒绕轴 O 的转动惯量为 $l=m'l^2/3$ )。

解:子弹击穿细棒时间非常短暂,可认为细棒在子弹的冲击下只获得了大小为 $\omega$ 的角速度,并未发生角位移;此时重力作用线通过轴0,力矩是零;转轴对细棒作用力的力矩也是零。由子弹与细棒组成的系统相对转轴0的角动量守恒。按式(2.4.8),子弹射人前相对轴0的角动量为m(v/3)d,此时细棒相对轴0的角动量为 $l\omega$ ,于是有

$$mvd = m \frac{v}{3}d + I\omega = \frac{1}{3}mvd + \frac{1}{3}m'l^2\omega$$

由此解出

The figure shows a bullet with velocity $v$ striking a rod at a distance $d$ below the pivot point $O$ . After the impact, the reduced velocity of the bullet is $v/3$ .

The rod swings through an angle $\theta$ , indicated by the dashed line.

度 ω 图 2-18 质点与刚 体的角动量守恒

细棒获得角速度 ω 后,上摆过程中,只有

重力矩做功,机械能守恒。设上摆的最大角度为 θ,以细棒在竖直位置时质心高度为重力势能零点,则有

$$\frac{1}{2}I\omega^2 = m'g\,\frac{l}{2}(1-\cos\,\theta)$$

将 Ι 及 ω 值代人,得细棒摆起的最大角度为

$$\theta = \arccos\left(1 - \frac{4m^2v^2d^2}{3gm'^2l^3}\right)$$

物体系角动量守恒定律不仅适用于刚体,而且也适用于非刚体。 这是因为式(2.4.3)在积分时,对转动惯量是否为定值并无限制。

物体系角动量守恒定律不仅适用于转轴固定的情况,而且还适用于转轴通过质心且随质心做平动的情况。这是因为,尽管质心运动可能存在加速度,固定于质心的坐标系在做加速平动,属于非惯性系,但此时的惯性力是通过质心的,并不产生附加的外力矩。所以,相对过质心并且做平动的轴的转动情况与相对惯性系中固定轴的转动情况,角动量守恒定律均适用。

下面通过两个例子加以说明。

首先,我们来看花样滑冰运动员的冰上旋转。将运动员视为物体系(非刚体)。运动员先将双臂和单腿伸开,借助曲线运动使自身产生一定的旋转,然后把双臂和腿收拢,这时转速迅速增加。运动员若要停止旋转,只需重新伸开双臂和腿。在这个过程中,运动员绕自身轴的转动惯量和角速度都是变量,开始双臂和腿伸开,转动惯量较大,角速度较小;然后双臂和腿收拢,转动惯量减小,角速度增加;忽略冰面以及空气的阻力,则运动员的角动量守恒,任

意两时刻,恒有 $I_1\omega_1 = I_2\omega_2$ 成立。应该指出,在转动过程中,运动员的转动动能不是恒定的,任意两时刻之间的转动动能之差为

$$\Delta E_{k} = \frac{1}{2} I_{2} \omega_{2}^{2} - \frac{1}{2} I_{1} \omega_{1}^{2} = \frac{1}{2} (I_{2} \omega_{2}) \omega_{2} - \frac{1}{2} (I_{1} \omega_{1}) \omega_{1} \\ = \frac{1}{2} (I_{1} \omega_{1}) (\omega_{2} - \omega_{1}) \neq 0$$

能量的变化来源于运动员内力所做的功。这一结果也说明对于非刚体,不能应用刚体定轴转动的动能定理。因为该定理表达式(2.3.5)是在转动惯量/是常量的条件下,通过积分得到的。

运动员做跳水动作时的情况与花样滑冰的情况类似。运动员质心在做抛体运动的同时,还要围绕通过质心的轴做转动。转动的圈数由运动员相对质心轴的转动惯量决定。例如 10 米高台,运动员团身能空翻三周半人水,若直体则不能。这是因为团身相对质心轴的转动惯量小,角速度大。

其次,我们来看直升机。将直升机的主螺旋桨和机身视为物体系。开始时,直升机静止于地面,系统相对主螺旋桨转轴的角动量为零。发动机启动后,主螺旋桨开始旋转,系统角动量增加,这时的外力矩是通过机身支架与地面间的摩擦力矩提供的,满足角动量定理。其中使主螺旋桨加速旋转的力矩是由发动机提供的,对整个系统来说,属内力矩,机身对主螺旋桨的反力矩也属内力矩,二者之和为零,对系统角动量的增加没有贡献。系统角动量的增加是由于机身的反力矩与地面提供的摩擦力矩平衡,最终使外力矩作用于系统。然而直升机一旦离开地面情况就不同了。直升机在天上要完成一系列动作,这都需要通过改变主螺旋桨的角速度来实现,如果忽略空气阻力,则系统所受外力矩为零,角动量应该守恒。主螺旋桨角速度的改变,必然会通过内力矩相互作用使机身作反向旋转以保持系统角动量恒定。但机身的旋转不是我们希望的,为此要在机身尾部再安装一个小螺旋桨,产生一个附加力矩,以平衡机身所受内力矩,消除机身的转动。