6.3 磁场的性质

6.3.1

磁感应线、磁通量与磁场中的 高斯定理

在描述静电场时,由于采用了电场线,使电场的空间分布十分形象、直观。同样,也可以引入磁感应线来描述磁场的空间分布情况。这种曲线称为磁感应线,亦称 B 线。图 6-13 分别表示长直电流、圆形电流及载流螺线管的 B 线的空间分布。在 B 线任意点 P 处的切线方向代表该点 B 的方向,而垂直穿过含该点的小面元 $dS_{\perp}$ 的磁感应线的"条数" dN 称为磁通量 $d\Phi$ ,则定义 P 点处 B 的大小为

NOTE

(a)

(b)

Labels in (b): $extbf{B}$ , $d ext{\Phi}$ , $d extbf{S}$ , d extbf{S}_{ot} , $\theta$

图 6-14 磁通量

$$B = \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\Phi}}{\mathrm{d}S_{\perp}} \quad \vec{\mathbf{g}} \quad \mathbf{d}\boldsymbol{\Phi} = B\,\mathrm{d}S_{\perp}$$

如果过 P 点处的小面元并不与 P 点处的 B 线垂直,这时取该小面元在垂直于 B 线的方向上的投影,得 $dS_{\perp}$ 。如图 6~14 所示,此时通过面元 dS 的磁通量为

$$d\Phi = dS\cos \theta B = dS \cdot B = B \cdot dS \qquad (6.3.1)$$

式中, $\theta$ 是小面元 dS 与 B 之间的夹角。

若要计算磁感应强度 B 通过有限大曲面 S 的通量 $\Phi$ ,需要将式(6.3.1)对整个曲面 S 进行积分

$$\boldsymbol{\Phi} = \int_{S} \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{S} \tag{6.3.2}$$

磁通量的单位是 Wb(韦伯),1 Wb=1 T·m2。

分析图 6-14 中各种情况下 B 线的形状,可以看出以下特征:① 描述磁感应线的 B 线,都是闭合线,既无起点也无终点;② B 线总是与闭合电流线相互套连,利用右手可以判断两者间方向关系。若使握拳的右手四指代表电流方向,则伸出的拇指就代表 B 线的方向;若右手四指表示 B 的方向,则拇指就代表电流方向。由于 B 线都是闭合曲线,则穿过空间任意闭合曲面的磁通量为零,即

$$\boldsymbol{\Phi} = \oint_{S} \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{S} = 0 \tag{6.3.3}$$

这个规律称为磁场中的高斯定理。它表明了磁场是无源场, 指出自然界中不存在单一的磁极,不能像电荷发生和汇聚电场线 一样,由单一磁极发生或汇集磁感应线。描述由恒定电流所产生 的恒定磁场的 B 线都是围绕电流的闭合线,无头无尾,类似于描 述水中的漩涡,所以又称恒定磁场为涡旋场。

6.3.2 恒定磁场中的安培环路定理

在静电场中,由于每条电场线都是由正电荷发出终止于负电荷或终止于无穷远处,所以,在静电场中 E 的环路积分为零,即 $\oint E \cdot dl = 0$ 。但是,在由恒定电流产生的静磁场中,B 线是无头无尾的闭合线。那么如果在磁感应强度为 B 的磁场中做一个类似的环路积分 $\oint B \cdot dl$ 又该得出何种结果呢?

通过对磁场中不同环路的情况进行研究,会得到这样一个结论:

$$\oint_{l} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_{0} \sum_{i} I_{i} \qquad (6.3.4)$$

上式中的物理意义为,在磁场中磁感应强度 B 沿任意环路的积分,等于环路所围电流代数和 $\sum_i I_i$ 的 $\mu_0$ 倍。式(6.3.4)称为安培环路定理,式中的 B 是空间所有载流导线共同的电流(包括环路所包围的和没有被环路包围)产生的。而 B 沿环路积分的结果,却只由环路所围载流导线的电流的代数和决定,并且规定,当任意选择环路绕行方向后,凡是与电流方向满足右手螺旋关系的电流的数值取为正,否则取电流的数值为负。

由于 B 的环路积分不为零,因此磁场是非保守场,磁场不像静电场存在电势那样存在磁势。这是磁感应场的一个重要性质。

安培环路定理与毕-萨定律是从两个不同的角度对相同物理事实的描述,从毕-萨定律可以推导出安培环路定理。限于篇幅,在此仅以通有电流的无限长直导线为例予以证明。

如图 6-15 所示,在任意一个与通有电流 I 的无限长直导线相垂直的平面内,存在一条包围导线的任意形状的闭合路径 l,并取 l 的绕行方向与电流方向满足右手螺旋关系。

利望をいる。 乳膜溶影性であった。 起し基準は経さい。そのかは、 発送なりからいると、

图 6 日 积分环路包含电流并位于与直导线相垂直的任意平面内

设导线与平面相交点处为原点 O,由 O 点到路径 l 上的任意点 P 的距离为 r。按式(6.2.4),P 点处 B 的大小 $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ ,B 的方向是 P 点处 B 线的切线方向,如图 6 – 15 所示,在 P 点处取位移元 d l ,B 与 d l 的夹角为 $\theta$ , $\theta$ 为锐角,则 B 沿整个路径 l 的积分为

$$\oint_{l} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \oint_{l} B \cos \theta dl$$

式中, $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ ,由图可知, $\cos \theta dl = rd\varphi$ 。代人积分式可得

$$\oint_{l} \frac{\mu_{0}I}{2\pi r} r d\varphi = \int_{0}^{2\pi} \frac{\mu_{0}I}{2\pi} d\varphi = \mu_{0}I$$

由此可见,B的环路积分与所围绕的电流成正比,而与路径的形状与位置无关。

若 B 按上述回路的反方向积分时,则在积分路径上任意点处,B 与 d 的夹角均为钝角,如图 6-15 所示,设 $\theta' = \pi - \theta$ 。在这种情况下,B 的环路积分为

$$\oint_{l} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \oint_{l} B\cos (\pi - \theta) dl = -\oint_{l} B\cos \theta dl = -\mu_{0} I$$

其结果符合电流方向与积分环路方向要满足右手螺旋为正的 规定。

若所选积分环路不包围电流,则 B 的环路积分为零。

图 6-16 为一通有电流 I 的无限长直导线,电流方向如图所示,在它的周围有闭合路径 l,方向如图所示。由载流导线所在的 O 点引两条射线 OA、OC 与 l 相交于 A、C 和 A'、C',于是在 l 上得到一对位移元 dl 和 dl',它们对 l 有相同的张角 $d\varphi$ ,设 OA 长为 r,OC'长为 r',位移元 dl 所对应的磁感应强度为 B, B 与 dl 的夹角为 $\theta$ , $\theta$ 为锐角; dl'所对应的磁感应强度为 B',B'与 dl'的夹角为 $\theta'$ , $\theta'$ 为钝角,则有

$$\mathbf{B} \cdot \mathbf{d}\mathbf{l} = B \cos \theta dl = \left(\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\right) r d\varphi = \frac{\mu_0 I}{2\pi} d\varphi$$ $$\mathbf{B}' \cdot \mathbf{d}\mathbf{l}' = B' \cos \theta' dl' = -\left(\frac{\mu_0 I}{2\pi r'}\right) r' d\varphi = -\frac{\mu_0 I}{2\pi} d\varphi$$

图 6-16 积分环路不包含电流并位于与直导线相垂直的任意平面内

于是B沿这对位移元积分之和为零,所以B沿l的积分为零,即

$$\int \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} + \int \mathbf{B}' \cdot d\mathbf{l}' = 0$$

类似的方法,可以由 0 点引出足够多条射线,将路径 l 分割

成若干组成对的位移元,由于 B 对每段位移元积分之和为零,所以 B 沿 l 积分为零,即当所选取的积分环路不包围载流导线时,B 的环路积分为零,有

$$\oint$$

B ⋅ dl = 0(所选积分环路不包围电流时) (6.3.5)

若空间存在 N 条载流导线,而所选择的积分环路仅包围其中一部分载流线,设为 $N_1$ 条,而环路之外的载流线为 $N_2$ 条。利用场的叠加原理,可以计算出 B 的环路积分为

$$\oint_{l} \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{l} = \oint (\sum_{i} \boldsymbol{B}_{i} + \sum_{j} \boldsymbol{B}_{j}) \cdot d\boldsymbol{l} = \oint \sum_{i}^{N_{1}} \boldsymbol{B}_{i} \cdot d\boldsymbol{l} + \oint \sum_{j}^{N_{2}} \boldsymbol{B}_{j} \cdot d\boldsymbol{l}$$

上式中, $i$ 表示被积分环路所包围的第 $i$ 条载流导线; $j$ 表示在积分 环路之外第 $j$ 条载流导线。根据式 $(6.3.5)$ ,未被积分环路包围的 载流导线,对环路积分的贡献为零,即 $\oint \sum_{j}^{N_{2}} \boldsymbol{B}_{j} \cdot d\boldsymbol{l} = 0$ ,所以上式为

$$\oint_{l} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_{0} \sum I_{p_{1}}$$

由上式可以看出,除了积分环路不包围电流时 B 的环路积分为零外,当环路所包围"正向"电流与"负向"电流的数值相等时,B 的环路积分也为零。

当所取积分回路不是位于一个与电流垂直的平面内时,构成积分回路的每个位移元 dl 都可以分成垂直于该平面和平行于该平面的两个分矢量,即 $dl=dl_{\perp}+dl_{\perp}$ ,此时安培环路定理为

$$\oint_{l} \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{l} = \oint_{l} \boldsymbol{B} \cdot (d\boldsymbol{l}_{\perp} + d\boldsymbol{l}_{/\!/}) = \oint_{l} \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{l}_{\perp} + \oint_{l} \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{l}_{/\!/}$$

由于

$$\oint_{l} \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{l}_{\perp} = 0, \oint_{l} \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{l}_{\parallel} = \oint_{l} B \cos \theta d\boldsymbol{l}_{\parallel} = \int_{0}^{2\pi} \frac{\mu_{0} \boldsymbol{I}}{2\pi r} r d\varphi = \mu_{0} \boldsymbol{I}$$

所以,当积分回路不是位于一个与电流相垂直的平面内时, 应取该环路在垂直于电流的平面中投影所得的环路,B 沿该环路 的积分仍然是安培环路定理积分所给出的形式。

6.3.3 安培环路定理应用举例

例题 6-5

横截面半径为R的"无限长"柱形导体,求在均匀通过恒定电流I时,在导体内外所激发的磁感应强度B(图6-17)。

图 6--17 例题 6-5图

解:由于柱形导体具有轴对称性,B 线为同轴圆环,故选取与 B 线方向相同的同轴圆环为积分路径,在该积分路径中 B 与 dl 的方向处处一致。

(1) 当所取积分路径包围整个导体柱,即 r>R 时,由安培环路定理可以得

$$\oint_{l} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = B \oint_{l} dl = B2\pi r = \mu_{0} I$$

因此,得

$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$$

即是无限长载流圆柱形导体在柱外一点处的磁感应强度。该结果与利用毕-萨定律所求"无限长"载流直导线周围的磁感应强度 B 的大小相同,但方法更为简便。

(2) 为了分析导体柱内磁感应强度的分布,在导体柱的任意界面处取 $0<r<R$ 的积分环路,利用安培环路定理,由于在积分环路上每点处 B 与 dl 同向,则

$$\oint_{l} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = B \oint_{l} dl = B2\pi r = \mu_{0} \left( \frac{I}{\pi R^{2}} \right) \pi r^{2}$$

于是,得

$$B = \frac{\mu_0 Ir}{2\pi R^2}$$

上式说明,在导体柱均匀通过恒定电流 I 的情况下,导体内磁感应强度的数值与半径 r 成正比。

例题 6-6

求"无限长"密绕而成的螺线管内部的磁感应强度。

解:由于管内的磁感应场是各个线圈所建立场的矢量和,且电流具有对称分布,所以,当螺线管很长,线圈缠绕很密的情况下,管内的磁感应线是平行于轴并均匀分布的直线,磁感应线的方向与电流方向满足右手螺旋定则(即右手四指表示电流方向,拇指表示B的方向)。管外非端口处磁感应强度近似为零。

现在于远离长直螺线管的两端处,取如图 6-18 所示的矩形积分回路 abcda,设回路的长为 h。回路共包围 N 匝线圈,每匝线圈通有相同的电流 I。所以,回路包围总电流为 NI。

図図図図図図図図図図図図図図図図図図図図図図図図図図図図図図図図図図図図

B 沿环路 abcda 的积分是

$$\oint_{abcda} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \int_{a}^{b} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} + \int_{b}^{c} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} + \\ \int_{c}^{d} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} + \int_{d}^{a} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l}$$

由于管的外部 B=0, 所以

$$\int_{a}^{b} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = 0$$

而沿 $da \setminus bc$ 两段的积分,都可以分成两个部分,一部分位于管外,由于管外处B=0,所以 B 在这部分的积分为零,另一部分位于管内,但是在这段积分中 B 与积分路径垂直, 所以积分结果仍为零,即

$$\int_{b}^{c} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \int_{d}^{a} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = 0$$

而 B 沿 cd 的积分是在管的内部, B 与积分路径方向一致, 所以

$$\int_{c}^{d} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = Bh$$

利用安培环路定理,得到螺线管内部的 磁感应强度大小为

$$B = \frac{\mu_0 NI}{h} = \mu_0 nI$$

式中, $n = \frac{N}{h}$ 为单位长度上线圈的匝数,即线圈密度。这个结果与例题 6-4 结果一致。

虽然实际应用的螺线管并非"无限长",但是,只要其长度远大于直径,就可以将实际应用的螺线管看成是无限长的。因为,在这种情况下对于螺线管以外的空间来说,除了在螺线管的端口处,其他空间的磁感应线的分布都非常稀疏,即磁感应强度 B 的数值十分小,可以近似认为 B 等于零。而管的内部,除了端口外,其余空间中 B 均为一常量,其方向与轴平行,与电流的流向满足右手螺旋定则。

例题 6-7

求密绕而成的螺绕环内部的磁感应强度 B。

解:所谓螺绕环可以理解成由长直螺线管弯成的环状线圈。螺线管横截面的半径也就是螺绕环横截面的半径,设为R。如图 6-19 所示,原螺线管的长I就是螺绕环的平均周长,与平均周长相对应的半径r为螺绕环的平均周长,与平均周长相对应的半径r为螺绕环的平均半径。设所讨论的螺绕环共绕有用N 匝线圈,电流为I时,对于 $r\gg R$ 的螺绕环而言,由于电流分布的对称性,螺绕环内部的磁场是均匀的,磁感应线是与螺绕环同轴的

图 6-19 例题 6-7图

圆环,其周长可视为平均周长l。在管的内部B的方向与l所围电流满足右手螺旋定则。

现于螺绕环内部,沿B的方向取周长为l为积分路径,则B沿该路径的积分为

$$\oint_{\mathcal{L}} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = Bl$$

该积分环路所围总的电流为 NI, 由安培环路定理得

$$B = \mu_0 \frac{N}{l} I = \mu_0 n I$$

式中, $n = \frac{N}{l}$ 表示单位长度上线圈的匝数。

如果另外在螺绕环外部取两条与螺绕环同轴的积分回路,不难看出,由于两条回路所围电流的代数和均为零,所以在螺绕环外部空间无磁场分布,即密绕而成的螺绕环的磁场全部集中在环的内部。