5.2 静电场的性质

文档:电场强度通量与 高斯定理

图 5-12 电场线示意图

图 5-13 电场强度通量示意图

5.2.1 电场线和电场强度通量

为了形象地描述电场强度在空间的分布,引入一组带有方向的曲线(图 5-12),正的检测电荷在曲线上任意一点受力的切线方向,表示该点的场强方向;空间某区域内曲线的疏密反映出该区域电场强度的大小,这样的曲线称为电场线(曾用名:电力线)。描述静电场的电场线总是由正电荷出发,终止于负电荷或无穷远处。在没有电荷的空间,电场线既不会产生,也不会中断。由于空间任意点处的电场强度只有一个方向,所以电场线也不会相交。

为了将电场线的疏密与空间场强大小联系起来,对电场线的疏密作如下规定:过电场中任意点,作一垂直于该点电场线的面元 $dS_{\perp}$ ,若通过此面元的电场线数为 $d\Phi_{e}$ ,则该点的电场强度大小为

$$E = \frac{\mathrm{d}\Phi_{\mathrm{e}}}{\mathrm{d}S_{\perp}} \tag{5.2.1}$$

应该强调,电场中并非真实地存在这样的场线,所以也不存在真实的电场线数,电场线的引入,仅仅为了形象地描绘场强的空间分布。由式(5.2.1)看到 E 的取值不一定是正整数。

电场是一个矢量场,而矢量场可以引入矢量通量的概念。描述静电场的电场线,在一定的单位制下,做了式(5.2.1)的约定后,可以将通过一个面的电场线数称为通过该面的电场强度通量,用符号 $\Phi_e$ 表示,通过某面元 dS 的电场强度通量用 $d\Phi_e$ 表示。一般说来,在相同场点处,通过面元的电场强度通量与面元的大小有关,在一定面元大小下,面元的取向不同,通过的电场强度通量也不同。为了把面元的大小和方位都表现出来,因此引入面元矢量 dS,dS 的方向与面元平面垂直。

如图 5-13(b) 所示,通过面元 dS 的电场强度通量与通过该面元 dS 在垂直电场 E 的平面内的投影 $dS_1$ 的电场强度通量是一样的,即 $d\Phi_e = EdS_1 = EdS\cos\theta$ 。按矢量标积的写法,通过面元 dS 的电场强度通量,可以记为 $d\Phi_e = E \cdot dS$ 。电场强度通量是个标量,但仍有正、负之分。定义某点的电场强度 E 与该点的面元矢量的夹角 $\theta$ 为锐角时,电场强度通量为正;当 $\theta$ 为钝角时,电场强度通量为下;当 $\theta$ 为钝角时,电场强度通量为零。

如果要确定通过图 5-13(c)所示的不均匀电场中一个有限曲

面 S 的电场强度通量,应首先将曲面分割成许多小面元 dS,然后分别求出通过每个小面元的电场强度通量 $d\Phi_e$ ,再将所有 $d\Phi_e$ 叠加起来,就得到通过该曲面 S 的电场强度通量,即

$$\Phi_e = \int d\Phi_e = \int_S E \cdot dS$$

按数学规定,在电场中确定通过任意形状的闭合曲面的电场强度通量时,该闭合面上各面元矢量 dS 都指向闭合曲面外法线方向,电场线穿入曲面,电场强度通量为负;穿出曲面,电场强度通量为正。

以下分析在静电场中电场线通过一个闭合曲面的电场强度通量。

5.2.2 静电场中的高斯定理

德国科学家高斯,对物理学的发展做出了卓越的贡献。著名的高斯定理给出了电场中某个假想闭合曲面的电场强度通量 $\Phi$ 。和该曲面所包围净电荷之间的联系。

对静电场中高斯定理的讨论,本书采用由特殊到一般的方法进行。如图 5-14 所示,假设一正电荷 q 被包围在一个闭合 S 中。为了确定通过该闭合曲面的电场强度通量,以 q 为中心作一半径为 r 的球面 S',点电荷在球面 S'上各点的场强 E 由式(5.1.5)确定,由于球面上各点到 q 的距离处处相等,且 S'面上任意点的面矢量,都与该点场强 E 方向一致,通过球面 S'的电场强度通量为

$$\Phi_{e} = \int d\Phi_{e} = \oint_{S'} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S}' = \oint_{S'} \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}} dS' \\ = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}} \oint_{S'} dS' = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}} 4\pi r^{2} = \frac{q}{\varepsilon_{0}}\quad (5.2.2)$$

由图 5-14 还可以看出,通过球面 S'的电场强度通量,恰好是通过它外面的那个任意形状的闭合曲面 S 的电场强度通量。若q 为正,则电场强度通量 $\Phi_e > 0$ ,电场线由闭合面内穿出;若 q 为负,则 $\Phi_e < 0$ ,电场线穿入闭合面。习惯上称这种任意形状的闭合面为高斯面。

如图 5-15(a),若点电荷 q 处于高斯面之外,由于电场线的连续性,q 所产生的电场线穿入高斯面的部分,能够完全从高斯面穿出,故位于高斯面之外的电荷在该面产生的电场强度通量为零,即

$$\boldsymbol{\Phi}_{e} = \oint_{S} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = 0 \tag{5.2.3}$$

图 5-14 静电场中的高斯定理

图 5-15 高斯定理导出

设想,在静电场中作高斯面 S,如图 5-15(b)所示,在面内有电荷 $q_1,q_2,\cdots,q_i,\cdots,q_n$ ,共 n 个;在高斯面之外有电荷 $q_{i+1},q_{i+2},\cdots,q_j,\cdots,q_k$ ,共 k 个。在高斯面上任意处的电场强度 E 是由空间存在的所有电荷共同产生的,即

$$E = \sum_{i=1}^{n} E_i + \sum_{n+1}^{k} E_j$$

(5.2.4)

式中, $E_i \setminus E_j$ 分别为高斯面内第 i 个、高斯面外第 j 个电荷在高斯面上某点处产生的场强。通过该点所对应面元 dS 的电场强度通量为 $d\Phi_e = E \cdot dS$ ,则通过整个高斯面 S 的电场强度通量为

$$\Phi_{e} = \oint_{S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \oint_{S} \left( \sum_{i=1}^{n} \mathbf{E}_{i} + \sum_{j=n+1}^{k} \mathbf{E}_{j} \right) \cdot d\mathbf{S} \\ = \oint_{S} \sum_{i=1}^{n} \mathbf{E}_{i} \cdot d\mathbf{S} + \oint_{S} \sum_{j=n+1}^{k} \mathbf{E}_{j} \cdot d\mathbf{S}$$

依式(5.2.3)可知,上式右边第二项为零;又依式(5.2.2)可得到通过闭合曲面的电场强度通量为

$$\boldsymbol{\Phi}_{e} = \oint_{S} \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = \frac{1}{\boldsymbol{\varepsilon}_{0}} \sum_{i=1}^{n} q_{i}$$

(5.2.5)

这就是高斯定理的数学表达式,其物理含义为:在真空中通过任意闭合曲面的电场强度通量,等于该曲面所包围的所有电荷的代数和与真空中介电常量 $\varepsilon_0$ 的商,而与闭合面外的电荷无关。

如果闭合曲面 S 所包围的体积为 V 的物体,电荷在该物体上是连续分布的,若电荷的体密度为 $\rho$ ,则高斯定理表达式(5.2.5)右边的求和应写成对电荷分布空间的体积分,即

$$\Phi_e = \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{1}{\varepsilon_0} \int_V \rho dV \qquad (5.2.6)$$

利用数学中的高斯定理,有

$$\oint_{S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \int_{V} \nabla \cdot \mathbf{E} dV$$

于是得

$$\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho / \varepsilon_0 \tag{5.2.7}$$

数学上称 $\nabla \cdot E$ 为矢量场 E 的散度,式(5.2.7)称为高斯定理的微分形式。其物理意义为:在一个微小的局域内,若电场的散度不为零时,即 $\nabla \cdot E \neq 0$ ,必然有电场线从该小局域中发出或终止于其内,所以小局域必有场的源头。有源头的矢量场称为有源场,真空中的静电场即是一种有源场。

高斯定理的基础是库仑定律和场强叠加原理。但是,高斯定理是在场强与距离平方成反比 $\left(\mathbb{D}^{E} \times \frac{1}{r^2}\right)$ 严格成立条件下得到

的。近代实验证明,库仑定律中 $E \propto \frac{1}{r^{2+\epsilon}}$ ,式中的 $\epsilon \leq (2.7\pm3.1) \times 10^{-6}$ 。因此,在静电场中两者是等效的。应该指出,库仑定律是超距作用的一种表现,它仅对静电场有效,而高斯定理在整个电磁理论中都有效。

此外,当已知静电场具有某种形式的对称分布时,选择适当的高斯面,利用静电场中的高斯定理,就可以十分简便地求出该电场在空间的具体分布。

例题 5-4

已知一半径为R的均匀带电球壳,所带总电荷量为q,求其电场分布。

解:如图 5-16 所示,首先考虑球壳外各点的场强分布。在球壳外任选点 P,过 P 点作一与带电球壳同心、半径为 r(r>R) 的球形高斯面 S。该高斯面面积为 $4\pi r^2$ ,由于电荷分布具有球对称性,所以电场也具有球对称性,即在半径相同的球面上,各点电场强度大小是相等的,方向沿半径向外 (q 为正电荷时),即 E 的方向与所对应的面元矢量的方向是一致的 $(\cos \theta=1)$ ,电场强度通量应为

图 5-16 例题 5-4图

$$\Phi_e = \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \oint_S E \cos \theta dS$$ $$= E \oint_S dS = 4\pi r^2 E$$

该高斯面所包围的电荷为球面所带电荷 q。由高斯定理式(5.2.5)得

$$4\pi r^2 E = \frac{q}{\varepsilon_0}$$

所以,在带电球面外各点的电场强度为

$$E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} e_r \quad (r > R)$$

此式表明,均匀带电球壳外各点的电场 强度,与球心处放置相等电荷量的点电荷所 产生的电场场强是一样的。

当所选择的场点位于带电球壳外,且又紧靠着球壳时,即 $r \approx R$ 时,则

$$E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R^2} e,$$

当将场点选择在带电球壳内任意点 P'时,过P'作一半径为 $r'(r' < R)$ ,面积为 $4\pi r'^2$ 的同心高斯面。同理,由于电荷及电场分布具有球对称性,所以高斯面上各处的电场强度的大小均相等,设其为 E',并沿半径向外,与高斯面上各点处面元 dS 的方向一致。因此通过该高斯面的电场强度通量为

$$\Phi_c = E' \cdot 4\pi r'^2$$

但是,由于高斯面位于带电球壳内部,所围电荷为 $\Sigma q=0$ ,因此由高斯定理得

$$E' \cdot 4\pi r'^2 = 0$$

故 E'=0。以上结果表明,均匀带电球壳内 场强处处为零。

例题 5-5

求半径为 R, 所带电荷量为 q 的均匀带电球体的电场强度的空间分布。

解:由于带电球体的电荷分布具有球对称性,所以利用高斯定理,可以十分简便地求出电场强度的空间分布。

图 5-17 例题 5-5图

如图 5-17 所示,当所考察的点 P 位于带电球体之外时,过点 P 取同心球面为高斯面,由于电荷分布具有球对称性,所以在高斯面上,各点处电场强度 E 的数值都相等,并且在高斯面上的各点处,高斯面的法线方向与 E 的方向均相同,因此通过该高斯面的电场强度通量为

$$\Phi_e = \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = 4\pi r^2 E \quad (r > R)$$

由高斯定理可得

$$\boldsymbol{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \boldsymbol{e}_r \quad (r > R)$$

可知,球外任意点处的场强,等于球心处点 电荷 q 所产生的场强。

当场点位于球内任一点 P'时,以球心为中心,过 P'点作一同心球面 S'为高斯面,通过 S'面的电场强度通量为

$$\Phi_e = \oint_{S'} E' \cdot dS' = 4\pi r'^2 E' \quad (0 < r' \le R)$$

高斯面所包含的电荷量为

$$q' = \rho \frac{4}{3} \pi r'^3$$

式中 $\rho = \frac{q}{(4/3)\pi R^3}$ 为电荷体密度,故

$$q' = \frac{qr'^3}{R^3}$$

由髙斯定理得 $4\pi r'^2 E' = \frac{qr'^3}{\varepsilon_0 R^3}$ ,即

$$E' = \frac{qr'}{4\pi\varepsilon_0 R^3} e_r = \frac{\rho r'}{3\varepsilon_0} e_r \quad (0 < r' \le R)$$

例题 5-6

求电荷线密度为λ的"无限长"均匀带电直线周围的电场分布。

解:由对称性可知,"无限长"带电直线的电场,在位于与直线垂直的平面内,电场线呈辐射状,即电场线只能沿径矢方向。在平面上距带电直线相等各点处 E 的数值相等,即电场线具有轴对称性。现以该带电直线为轴,作一半径为 r、长度为 l 的圆柱形高斯面,如图 5-18 所示,高斯面两个底垂直于带电直线,则其电场强度通量为

图 5-18 例题 5-6图

$$\Phi_{e} = \oint_{S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S}$$ $$= \int_{\text{上底}} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} + \int_{\text{下底}} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} + \int_{\text{侧面}} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S}$$

上式中上、下底面的法线矢量 $\mathbf{n}$ 与 $\mathbf{E}$ 垂

上式中上、下底面的法线矢量 n 与 E 垂直,对电场强度通量没有贡献,即电场强度通量为零;而侧面的法线矢量方向与 E 处处一致,且侧面各点处 E 的数值为恒量,所以

$$\Phi_e = \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \int_{\text{Min}} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = 2\pi r l E$$

(5.2.8)

圆柱形高斯面所包含的电荷量 $q=l\lambda$ ,

由高斯定理得 $2\pi r l E = \frac{\lambda l}{\varepsilon_0}$ ,即

$$E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} \tag{5.2.9}$$

对于带正电荷的直线来说,场强的方向沿半 径向外。

本例题利用了"无限长"带电直线的电场具有轴对称性的特点,合理地选择了柱面形高斯面,因此,利用高斯定理十分简洁地求出了"无限长"带电直线产生电场的空间分布,与例题 5-1 所采用积分方法实现的场强叠加相比,要简单许多。

求"无限大"均匀带电平面产生的场强。设电荷面密度为 $\sigma$ 。

根据对称性,可以确定带电平面所产生的电场是均匀的,并且垂直于平面,指向远离平面的方向(设该平面带正电荷)。如图 5-19 所示,选取一垂直于平面的柱形曲面为高斯面,高斯面的截面为 $\Delta S$ ,并且与带电面平行,其侧面面元矢量 dS 与电场 E 垂直,故通过侧面的电场强度通量为零。而由于高斯面两端面的外法线方向与该处的 E 方向一致,所以每个端面的电场强度通量为 $E\Delta S$ ,而通过整个高斯面的电场强度通量为

$$\Phi_e = \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S}$$ $$= \int_{\text{左端}} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} + \int_{\text{右端}} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} + \int_{\text{侧面}} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S}$$

$=2E\Delta S$

高斯面所围电荷电荷量 $\sum q = \Delta S \sigma$ 。由高斯定理得

$$2E\Delta S = \frac{\Delta S\sigma}{\varepsilon_0}$$

故

$$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \tag{5.2.10}$$

对于带电平面两侧所有各点,电场强度的数值都是相同的。尽管在实际中"无限大"的带电平面并不存在,但以上推导仍成立,因为对于一个实际带电平面来说,只要所考虑的场点不在带电平面的边缘附近,而且离平面的距离远小于平面本身的线度,就可以将实际平面视为"无限大"平面。

另外,带电平面两侧场强的方向恰好相反,即带电平面两侧的电场不连续,存在突变,其突变量 $\Delta E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} - \left(-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\right) = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ 。该结论对于任意导体表面附近都成立。

5.2.3 静电场的环路定理

文档:环路定理与电势

图 5-20 电场力的功

当位于静电场中的一个电荷,从一个位置移动到了另一个位 置,就意味着静电场力对该电荷做了功。以下,从静电场做功的 特点,讲一步考察静电场的性质。

如图 5-20 所示,在一个点电荷 q 产生的电场中,将一正的检 验电荷 $q_0$ 从 a 点沿任意路径 l 移动到 b 点,电场力对 $q_0$ 做功为

$$\mathbf{W}_{ab} = \int_{a}^{b} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{l} = q_{0} \int_{a}^{b} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l}$$

(5. 2. 11)

点电荷 q 的场强分布 $E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}e$ , 代入式(5.2.11)得电场力对 $q_0$ 做的功为

$$W_{ab} = \frac{qq_0}{4\pi\varepsilon_0} \left(\frac{1}{r_a} - \frac{1}{r_b}\right)$$

(5. 2. 12)

上式表明,静电场力所做的功与路径无关,仅与始末位置有 关。q₀ 由 a 到 b 不管是沿路径 l 或沿路径 l'还是沿其他任何路 径,所做的功都是完全一样。由式(5.2.11)得

$$\int_{a}^{b} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = \frac{\mathbf{W}_{ab}}{q_{0}}$$

(5. 2. 13)

上式称为,将单位电荷由点 a 移动到点 b 电场力所做的功。同 样,这个功仅仅取决于单位电荷的始末位置,而与所经过的路径 无关。所以,将单位电荷沿任意闭合回路移动一周,静电场所做 的功为零,即

$$\oint_{l} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = 0 \tag{5.2.14}$$

上式左边是静电场 E 沿某闭合回路的环路积分, 称为静电 场 E 的环流。静电场 E 的环流为零,表明静电场是保守场,静电 场力是保守力。式(5.2.14)是静电场的一个重要性质。