3.7 玻耳兹曼能量分布律和等温气压公式

NOTE

麦克斯韦速率分布律中只涉及了分子的动能,未考虑分子的势能。若气体处于保守力场中,则气体分子不仅有动能,还有势能。一般来说,动能是速率的函数,即 $\varepsilon_k = \varepsilon_k(v)$ ,而势能是分子位置坐标的函数,即 $\varepsilon_p = \varepsilon_p(x,y,z)$ 。例如在重力场中, $\varepsilon_p = mgz$ (重力势能零点在 z = 0 处)。因此,在有力场作用时,既要考虑分子按速率的分布,又要考虑分子按空间的分布。在热平衡状态下,坐标处于 $x \sim x + dx$ , $y \sim y + dy$ , $z \sim z + dz$ 空间体积元中,同时速度处于 $v_x \sim v_x + dv_x$ , $v_y \sim v_y + dv_y$ , $v_z \sim v_z + dv_z$ 区间内的分子数为

$$dN = n_0 \left( \frac{m}{2\pi kT} \right)^{\frac{3}{2}} e^{-\frac{s_k + s_p}{kT}} dv_x dv_y dv_z dx dy dz \qquad (3.7.1)$$

式中, $n_0$ 是在 $\varepsilon_p$ = 0 处单位体积中所含的各种速度的分子数。该式表示在平衡状态下,气体分子按能量的分布规律,称为玻耳兹曼能量分布律。从该式可以看出,在相同的温度条件下,分子占据能量较低状态的概率比占据能量较高状态的概率大。

将玻耳兹曼能量分布律式(3.7.1)对速度积分,可得空间体积元 dV=dxdydz 内各种速度的分子数:

$$\mathrm{d}N' = n_0 \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}} \left(\int \int_{-\infty}^{\infty} \int \mathrm{e}^{-\frac{e_k}{kT}} \mathrm{d}v_x \mathrm{d}v_y \mathrm{d}v_z\right) \ \mathrm{e}^{-\frac{e_p}{kT}} \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = n_0 \, \mathrm{e}^{-\frac{e_p}{kT}} \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z$$

而在 $x \ y \ z$ 附近单位体积内具有各种速度的分子数 $n = \frac{dN'}{dx dy dz}$ ,所以

$$n = n_0 e^{-\frac{\epsilon_p}{kT}} \tag{3.7.2}$$

在重力场中, $\varepsilon_{n}=mgz$ (重力势能零点在z=0处),因此

$$n = n_0 e^{-\frac{mgz}{kT}} \tag{3.7.3}$$

这是重力场中分子数密度随高度的分布规律。因为压强 p = nkT, 所以由上式可得

$$p = n_0 k T e^{-\frac{mgz}{kT}} = p_0 e^{-\frac{mgz}{kT}}$$

(3.7.4)

该式称为等温气压公式,其中 $p_0 = n_0 kT$ 是重力势能零点 z = 0 处的压强。应该注意这里忽略了气体温度随高度的变化。利用上式可近似估计不同高度处的大气压强。在爬山和航空中,如果知道某高度处的气压,就可应用此公式判断该位置的大致高度。

"人间四月芳菲尽,由 草桃花始盛 开"说的是什么道理?

给你一个气压计,你能知道自己此 刻的飞行高度吗?