2.1.1 刚体的自由度
确定一个物体的空间位置所需的独立坐标数目称为物体的 自由度。
确定一个自由质点的空间位置只需 x y z x \ y \ z x y z α ∖ β ∖ γ \alpha \setminus \beta \setminus \gamma α ∖ β ∖ γ
文档:刚体运动的描述
图 2-1 刚体的自由度
NOTE
2.1.2 刚体运动的分类
刚体的运动大体可以分为平动和转动。具体来说,又可细分如下:
1. 平动
当刚体运动时,刚体内任意两点连成的直线的空间指向始终保持不变,这种运动称为平动。如图 2-2 所示,平动不等于直线运动,平动的运动轨迹可以是任意空间曲线。刚体做平动时,其
图 2-2 刚体的平动
中所有点的运动情况都相同,任意一点的运动都可以代表刚体整体的运动,这时的刚体等价于一个质点。因此,前面有关质点力学的讨论完全适用于刚体的平动。
2. 定轴转动
刚体绕一条两端固定的直线旋转,称为定轴转动。这条固定 直线称为转轴。这是刚体运动中最简单的运动。例如,房门绕门 框转轴的转动。
3. 平面平行运动
刚体运动时,刚体中任意一点始终在平行于某一固定平面的 平面内运动,这种运动称为平面平行运动。例如,圆柱体在水平 地板上的滚动。
4. 定点转动
刚体绕只有一端固定的转轴旋转,由于转轴的另一端不固定,所以转轴的空间指向随时间改变,这种运动称为定点转动。例如,玩具陀螺转速较慢临近倒下时的运动状态。
5. 一般运动
刚体不受任何约束,在空间任意运动,称为一般运动。刚体的一般运动可以看成是由刚体上任意一点所代表的平动与围绕该点的定点转动的合成。例如,木把手榴弹在空中飞行时的状态,手榴弹的质心沿抛物线平动,而手榴弹整体绕通过质心的转轴转动。
2.1.3 描述刚体定轴转动的物理量
刚体做定轴转动时,刚体上各个点均在垂直转轴的各个平面上做圆周运动,圆周运动的半径依所考察的点到转轴的垂直距离而定。刚体上各个点的位置不同、位移千差万别,由此影响到速度、加速度也因刚体上各个点的位置不同而不同,这些量通称为线量。显然,用这些线量描写刚体的定轴转动是不适宜的。但是,由于刚体无形变,刚体上各个点在相同时间绕轴转过的角度却是相同的,可以用刚体上任一点转过的角度,代表整个刚体转过的角度,刚体转过的角度称为角位移。刚体上各个点不仅角位移是相同的,而且由此衍生出的角速度、角加速度对刚体上的各个点也是相同的,这些量通称为角量。因此用角量来描写刚体的定轴转动是适宜的。
1. 角坐标与角位移
如图 2-3 所示,刚体绕通过 O 点垂直图面的固定轴转动,M 为刚体内垂直转轴的某一平面,称为转动平面。P 为 M 平面内一点,
图 2-3 刚体定轴转动
从 O 向 P 引垂直转轴的 x 轴作为参考方向。设经过 t 时间,P 点随 刚体转到 Q 点,此时刚体的位置可由 P 点转过的角度 θ \theta θ θ \theta θ θ \theta θ θ \theta θ θ \theta θ θ \theta θ
θ = θ ( t ) (2.1.1) \theta = \theta(t) \tag{2.1.1} θ = θ ( t ) ( 2.1.1 ) 称为刚体定轴转动的运动方程。实际上,刚体做定轴转动只有一个自由度。因此,描写其运动只需一个坐标。
如果 t 1 t_1 t 1 θ 1 \theta_1 θ 1 t 2 t_2 t 2 θ 2 \theta_2 θ 2 Δ t = t 2 − t 1 \Delta t = t_2 - t_1 Δ t = t 2 − t 1
Δ θ = θ 2 − θ 1 (2.1.2) \Delta \theta = \theta_2 - \theta_1 \tag{2.1.2} Δ θ = θ 2 − θ 1 ( 2.1.2 ) 2. 角速度与角加速度
下面讨论刚体定轴转动的角速度 ω \omega ω β \beta β
ω = lim Δ t → 0 Δ θ Δ t = d θ d t \omega = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} ω = Δ t → 0 lim Δ t Δ θ = d t d θ (2.1.3)
式中, Δ θ \Delta\theta Δ θ Δ t \Delta t Δ t
角速度是矢量,其方向按右手螺旋定则确定,这点在科里奥利力一节中介绍过,详见该节,并参见图 1-20。
在国际单位制中,角速度的单位是 rad·s-1 (弧度每秒)。
角加速度是描述物体角速度变化快慢的物理量。其大小定 义为
β = lim Δ t → 0 Δ ω Δ t = d ω d t = d 2 θ d t 2 \beta = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}^2 \theta}{\mathrm{d}t^2} β = Δ t → 0 lim Δ t Δ ω = d t d ω = d t 2 d 2 θ (2.1.4)
式中 Δ ω \Delta\omega Δ ω Δ t \Delta t Δ t
在国际单位制中,角加速度的单位是 r a d ⋅ s − 2 rad \cdot s^{-2} r a d ⋅ s − 2
角加速度也是矢量,以 β \beta β ω \omega ω
β = d ω d t (2.1.5) \beta = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} \tag{2.1.5} β = d t d ω ( 2.1.5 ) 角加速度的方向同样按右手螺旋定则确定。
对于刚体的定轴转动来说,角速度与角加速度的方向都是沿着转轴的,而其相应的转向要么与规定的转动正方向相同,要么
与正方向相反,因此这两个量可按标量处理: 当其转向与转动正 方向相同时,记为正值;反之,记为负值。这类似于质点的一维直 线运动。
3. 匀加速转动的运动学公式
刚体绕固定轴做匀加速转动时, 角加速度 β 等于常量, 由式 (2.1.4) 有
d ω = β d t d\omega = \beta dt d ω = β d t 设 t=0 时,角速度初值为 ω 0 \omega_0 ω 0 ω \omega ω
∫ ω 0 ω d ω = ∫ 0 t β d t \int_{\omega_0}^{\omega} d\omega = \int_0^t \beta dt ∫ ω 0 ω d ω = ∫ 0 t β d t 得
ω = ω 0 + β t (2.1.6) \omega = \omega_0 + \beta t \tag{2.1.6} ω = ω 0 + βt ( 2.1.6 ) 再由式(2.1.3)有
d θ = ω d t d\theta = \omega dt d θ = ω d t 设 t=0 时,角坐标初值为 θ 0 \theta_0 θ 0 θ \theta θ
∫ θ 0 θ d θ = ∫ 0 t ω d t = ∫ 0 t ( ω 0 + β t ) d t \int_{\theta_0}^{\theta} d\theta = \int_{0}^{t} \omega dt = \int_{0}^{t} (\omega_0 + \beta t) dt ∫ θ 0 θ d θ = ∫ 0 t ω d t = ∫ 0 t ( ω 0 + βt ) d t 得
θ = θ 0 + ω 0 t + 1 2 β t 2 \theta = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2} \beta t^2 θ = θ 0 + ω 0 t + 2 1 β t 2 (2.1.7)
联立式(2.1.6)与式(2.1.7),消去时间 t,得
ω 2 − ω 0 2 = 2 β ( θ − θ 0 ) (2.1.8) \omega^2 - \omega_0^2 = 2\beta(\theta - \theta_0) \tag{2.1.8} ω 2 − ω 0 2 = 2 β ( θ − θ 0 ) ( 2.1.8 ) 如果是勾减速转动,则角加速度 β \beta β
以上公式与中学所学的质点的匀加速直线运动的公式十分类似,列表如下:
表 2-1 匀加速直线运动与匀加速定轴转动的类比
匀加速直线运动 匀加速定轴转动 使用条件:加速度 a = a= a = 使用条件:角加速度 β = \beta= β = v = v 0 + a t v = v_0 + at v = v 0 + a t ω = ω 0 + β t \omega = \omega_0 + \beta t ω = ω 0 + βt x = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 x = x 0 + v 0 t + 2 1 a t 2 θ = θ 0 + ω 0 t + 1 2 β t 2 \theta = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2} \beta t^2 θ = θ 0 + ω 0 t + 2 1 β t 2 v 2 − v 0 2 = 2 a ( x − x 0 ) v^2 - v_0^2 = 2a(x - x_0) v 2 − v 0 2 = 2 a ( x − x 0 ) ω 2 − ω 0 2 = 2 β ( θ − θ 0 ) \omega^2 - \omega_0^2 = 2\beta (\theta - \theta_0) ω 2 − ω 0 2 = 2 β ( θ − θ 0 )
表 2-1 中所列公式在应用时,特别要注意的是使用条件。若条件不满足,则须按定义积分求之。
一个以恒定角加速度转动的飞轮,如果在某一时刻的角速度为 ω 1 = 10 π \omega_1 = 10\pi ω 1 = 10 π -1 ,再转 30 圈后,角速度变为 ω 2 = 20 π \omega_2 = 20\pi ω 2 = 20 π -1 ,求飞轮的角加速度和转这 30 圈所用的时间。
解:由 ω 2 2 − ω 1 2 = 2 β θ \omega_2^2 - \omega_1^2 = 2\beta\theta ω 2 2 − ω 1 2 = 2 βθ
β = ω 2 2 − ω 1 2 2 θ = ( 20 π ) 2 − ( 10 π ) 2 2 × 30 × 2 π rad ⋅ s − 2 = 7.85 rad ⋅ s − 2 \beta = \frac{\omega_2^2 - \omega_1^2}{2\theta} = \frac{(20\pi)^2 - (10\pi)^2}{2 \times 30 \times 2\pi} \text{ rad} \cdot \text{s}^{-2}
= 7.85 \text{ rad} \cdot \text{s}^{-2} β = 2 θ ω 2 2 − ω 1 2 = 2 × 30 × 2 π ( 20 π ) 2 − ( 10 π ) 2 rad ⋅ s − 2 = 7.85 rad ⋅ s − 2 再由 ω 2 = ω 1 + β t ω_2 = ω_1 + βt ω 2 = ω 1 + βt t = ω 2 − ω 1 β = 4.0 s t = \frac{ω_2 - ω_1}{β} = 4.0 \text{ s} t = β ω 2 − ω 1 = 4.0 s
2.1.4 角量与线量的关系
前文中提到,刚体做定轴转动时,各个点均做平面圆周运动,圆周运动的半径依该点到转轴的垂直距离而异。刚体内各点的角位移、角速度和角加速度是相同的,这些称为角量。而刚体内各点运动的路程(或位移)、速度和加速度一般是不同的,这些称为线量。下面就来讨论角量与线量的关系,所用公式来自自然坐标系对运动的描述部分。
弧长与角度
参见图 2-3,刚体绕过 O 点的固定轴转动时,P 点在 M 平面内做圆周运动。设 P 点与转轴 O 的距离为 r,经过 t 时间,P 点随刚体转到 Q 点,P 点转过的角度为 θ \theta θ
s = r θ (2.1.9) s = r\theta \tag{2.1.9} s = r θ ( 2.1.9 )
速度与角速度
上式两端对时间 t 求导数,得 P 点的速率为
v = d s d t = r d θ d t = r ω (2.1.10) v = \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = r \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = r\omega \tag{2.1.10} v = d t d s = r d t d θ = r ω ( 2.1.10 ) 式中考虑到对 P 点而言,半径 r 是常量,其导数 dr/dt=0。
加速度与角加速度
按式(1.1.34),取曲率半径 ρ = r \rho=r ρ = r
a t = d v d t = r d ω d t = r β (2.1.11) a_{t} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = r\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} = r\beta \tag{2.1.11} a t = d t d v = r d t d ω = r β ( 2.1.11 ) a n = v 2 r = r ω 2 a_{n} = \frac{v^{2}}{r} = r\omega^{2} a n = r v 2 = r ω 2 (2. 1. 12)
网周运动轨迹简单,但是可以复映 各种物理规律,要字提两种同周运动的规律; 行速至周周运动和非已 速率侧周运动
P 点的总加速度大小为
a = a 1 2 + a 2 2 = r β 2 + ω 4 a = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} = r\sqrt{\beta^2 + \omega^4} a = a 1 2 + a 2 2 = r β 2 + ω 4 (2. 1. 13)
以上各式即为线量与角量的关系式。
相关矢量式的写法如下。如图 2-4 所示,设刚体绕与 OO'重合的固定轴转动,角速度矢量 ω \omega ω ω \omega ω ω \omega ω
速度 v 的大小为
v = ω r 0 sin θ = ω r v = \omega r_0 \sin \theta = \omega r v = ω r 0 sin θ = ω r 这与式(2.1.10)相同。速度 v 的方向按矢量叉乘的右手螺旋定则确定,指向图中圆周的切线方向。
将式(2.1.14)两边对时间 t 求导数,得到加速度的矢量式为
a = d v d t = d ω d t × r 0 + ω × d r 0 d t = β × r 0 + ω × v = a 1 + a n ( 2.1.15 ) \boldsymbol{a} = \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d}t} \times \boldsymbol{r}_0 + \boldsymbol{\omega} \times \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}_0}{\mathrm{d}t} = \boldsymbol{\beta} \times \boldsymbol{r}_0 + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v} = \boldsymbol{a}_1 + \boldsymbol{a}_n \quad (2.1.15) a = d t d v = d t d ω × r 0 + ω × d t d r 0 = β × r 0 + ω × v = a 1 + a n ( 2.1.15 ) 式中,切向加速度a,的大小为
a 1 = ∣ β × r 0 ∣ = β r 0 sin θ = β r a_1 = |\boldsymbol{\beta} \times \boldsymbol{r}_0| = \beta r_0 \sin \theta = \beta r a 1 = ∣ β × r 0 ∣ = β r 0 sin θ = β r 这与式(2.1.11)相同。按右手螺旋定则,a,的方向沿速度v的指向:若 β \beta β ω \omega ω β \beta β ω \omega ω
法向加速度 a n a_n a n
a n = ∣ ω × v ∣ = ω v sin 90 ∘ = ω 2 r a_n = |\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v}| = \boldsymbol{\omega} v \sin 90^\circ = \boldsymbol{\omega}^2 r a n = ∣ ω × v ∣ = ω v sin 9 0 ∘ = ω 2 r 这与式(2.1.12)相同。按右手螺旋定则, a n a_n a n
例题 2-2
一刚体以每分钟 60 转绕 z 轴正向做匀速转动。设某时刻刚体上一点 P 的位置矢量为 r = ( 2 i + 3 j + 4 k ) × 10 − 2 r=(2i+3j+4k)\times 10^{-2} r = ( 2 i + 3 j + 4 k ) × 1 0 − 2
篖 角速度
ω = ω k = 60 × 2 π 60 k rad ⋅ s − 1 = 2 π k rad ⋅ s − 1 \boldsymbol{\omega} = \boldsymbol{\omega} \boldsymbol{k} = \frac{60 \times 2\pi}{60} \boldsymbol{k} \text{ rad } \cdot \text{ s}^{-1} = 2\pi \boldsymbol{k} \text{ rad } \cdot \text{ s}^{-1} ω = ω k = 60 60 × 2 π k rad ⋅ s − 1 = 2 π k rad ⋅ s − 1 速度
v = ω × r = ω k × [ ( 2 i + 3 j + 4 k ) 10 − 2 m ] v = \omega \times r = \omega k \times [(2\mathbf{i}+3\mathbf{j}+4\mathbf{k})10^{-2} \text{ m}] v = ω × r = ωk × [( 2 i + 3 j + 4 k ) 1 0 − 2 m ] = [ 4 π ( k × i ) + 6 π ( k × j ) + 8 π ( k × k ) ] × 10 − 2 m ⋅ s − 1 = [4\pi(\mathbf{k} \times \mathbf{i}) + 6\pi(\mathbf{k} \times \mathbf{j}) + 8\pi(\mathbf{k} \times \mathbf{k})] \times 10^{-2} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} = [ 4 π ( k × i ) + 6 π ( k × j ) + 8 π ( k × k )] × 1 0 − 2 m ⋅ s − 1 式中， k × i = j \mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j} k × i = j k × j = − i \mathbf{k} \times \mathbf{j} = -\mathbf{i} k × j = − i k × k = 0 \mathbf{k} \times \mathbf{k} = \mathbf{0} k × k = 0
v = ( − 6 π i + 4 π j ) × 10 − 2 m ⋅ s − 1 v = (-6\pi \mathbf{i} + 4\pi \mathbf{j}) \times 10^{-2} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} v = ( − 6 π i + 4 π j ) × 1 0 − 2 m ⋅ s − 1
线速度与角速度的关系
一刚体做定轴转动,运动方程为 θ = 2 + 4 t 3 \theta = 2 + 4t^3 θ = 2 + 4 t 3
解:P点的圆周运动半径 r=0.01 m,角速度 大小 ω = d θ d t = 12 t 2 \omega = \frac{d\theta}{dt} = 12t^2 ω = d t d θ = 12 t 2 β = d ω d t = 24 t \beta = \frac{d\omega}{dt} = 24t β = d t d ω = 24 t v ( t ) = r ω = 12 r t 2 v(t) = r\omega = 12rt^2 v ( t ) = r ω = 12 r t 2 -1 ; 切向加速度大小为 a t ( t ) = r β = 24 r t a_t(t) = r\beta = 24rt a t ( t ) = r β = 24 r t a t ( 2 ) = 0.48 a_t(2) = 0.48 a t ( 2 ) = 0.48 -2 ;
法向加速度大小为
a n ( t ) = r ω 2 = 144 r t 4 a_n(t) = r\omega^2 = 144rt^4 a n ( t ) = r ω 2 = 144 r t 4 a n ( 2 ) = 23.04 m ⋅ s − 2 a_n(2) = 23.04 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2} a n ( 2 ) = 23.04 m ⋅ s − 2 总加速度大小为
a ( 2 ) = [ a t ( 2 ) ] 2 + [ a n ( 2 ) ] 2 ≈ a n ( 2 ) a(2) = \sqrt{\left[a_t(2)\right]^2 + \left[a_n(2)\right]^2} \approx a_n(2) a ( 2 ) = [ a t ( 2 ) ] 2 + [ a n ( 2 ) ] 2 ≈ a n ( 2 ) = 23.04 m ⋅ s − 2 = 23.04 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2} = 23.04 m ⋅ s − 2 
