1.3 动能定理与机械能守恒定律

从本节开始往下的三节我们将由牛顿第二定律导出经典力学的三大定理和三大守恒定律,即动能定理和机械能守恒定律、动量定理和动量守恒定律以及角动量定理和角动量守恒定律。这样,在一些问题中可以越过牛顿第二定律而直接利用这些定理或守恒定律作为解决问题的出发点,从而使问题的解决变得更加方便。因此,这些定理及其相应的守恒定律为解决动力学问题开辟了另一条途径。

1.3.1 功和功率

1. 功

功是描写力对空间累积作用的物理量。当一个人对一物体 施以作用力并且使该物体产生了一定的位移时,就可以说,人对 该物体做了功。

如图 1-21 所示,大小与方向均恒定的力 F 作用于物体上,物体沿直线运动位移为 $\Delta r$ ,二者的夹角为 $\theta$ ,则力在位移方向的投影与位移大小的乘积定义为力对物体所做的功,表示为

$$W = |F| \cos \theta |\Delta r| = F \cdot \Delta r \qquad (1.3.1)$$

式中, $F \cdot \Delta r$ 表示矢量 $F = \Delta r$ 的标量积,也称点积,其结果为标量,因此功是标量。

如图 1-22 所示,当大小和方向不断变化的力 F 作用于物体上并使其沿某一路径曲线由 a 运动到 b 时,力 F 所做的功又如何确定呢?可以设想,将从 a 到 b 的整个路径划分成 n 个小路段,使得物体在每一小路段内所受的力近似为恒力。这样就可以参照式(1.3.1),计算任一小路段上的功。若将物体在第 i 小路段的位移记为 $\Delta r_i$ ,所受力记为 $F_i$ ,相应的功记为 $\Delta W_i$ ,则有

$$\Delta W_i = F_i \cdot \Delta r_i \tag{1.3.2}$$

为了求出力 F 在由 a 到 b 的整个路径上所做的功,可以将各个小路段上的功求和,得到

$$W = \sum_{i=1}^{n} \Delta W_i = \sum_{i=1}^{n} F_i \cdot \Delta r_i \qquad (1.3.3)$$

图 1-21 恒力的功

图 1-22 变力的功

显然,这样计算出的功只是一个近似值。整个路径划分的段数 n 越大,计算出的功的近似程度就越高。当划分的段数 n 趋于无穷大时,计算出的功才是精确值。这时,将小路段上的位移由 $\Delta r_i$ 改记为 $dr_i$ ,去掉 $r_i$ 的下标,相应的功由 $\Delta W_i$ 改记为 $dW_i$ 式(1.3.2) 变成

$$dW = F \cdot dr \tag{1.3.4}$$

式中 dW 称为元功。而式(1.3.3)的求和变成下列的曲线积分:

$$\mathbf{W} = \int_{a}^{b} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \tag{1.3.5}$$

在直角坐标系中,式(1.3.5)的具体表达式为

$$W = \int_{a}^{b} (F_{x}\mathbf{i} + F_{y}\mathbf{j} + F_{z}\mathbf{k}) \cdot (dx\mathbf{i} + dy\mathbf{j} + dz\mathbf{k}) \\ = \int_{a}^{b} (F_{x}dx + F_{y}dy + F_{z}dz) \tag{1.3.6}$$

对于像式(1.3.6)这样的曲线积分,一般情况下,需要给出具体的曲线方程才能进行计算。

如果物体做一维直线运动,力的方向亦沿此直线,且力的大小仅是位置的函数,则功的计算简化为

$$W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx \qquad (1.3.7)$$

即变力沿直线所做的功等于以运动终点和运动起点为上下限的定积分。此式的几何意义为,在区间[ $x_1$ , $x_2$ ]内,力函数 F(x)曲线下的面积,如图 1-23 所示。

在国际单位制中,功的单位是 J(焦耳)。

2. 功率

单位时间内所做的功称为功率。式(1.3.4)两端除以 dt,得到功率:

$$P = \frac{\mathrm{d}\mathbf{W}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{F} \cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{F} \cdot \mathbf{v} \tag{1.3.8}$$

即功率等于力与速度的标量积。在国际单位制中,功率的单位为W(瓦特),简称瓦。

图 1-23 一维运动功的几何意义

例题 1-13

一力 F 作用在质量为 m=3 kg 的质点上,质点沿 x 轴方向运动,运动方程为 $x=t^3-4t^2-3t$ (m),求该力最初 4 s 内所做的功及 t=1 s 时的功率。

解:求功需要有作用力的表达式,而此题的特点是没有直接给出力的具体形式,仅给出

了质点的运动方程。在动力学的两类问题 中有一类就是已知运动方程求力。具体做

法就是,首先对运动方程求二阶导数得到加速度,再借助牛顿第二定律得到力。本题是一维问题,公式有所简化。

速度 $v = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 3t^2 - 8t - 3$ ,有 $\mathrm{d}x = (3t^2 - 8t - 3)$

$$dt$$

;加速度 $a = \frac{dv}{dt} = 6t - 8$ ,力 $F = ma = 18t - 24$ 。则

$$W = \int F dx = \int_0^4 (18t - 24) (3t^2 - 8t - 3) dt$$ $$= 240 \text{ J}$$

功率

$$P = Fv = (18t-24)(3t^2-8t-3)$$

当 $t=1$ s 时,功率为 $P \mid_{t=1} = 48$ W。

1.3.2 质点的动能定理

如图 1-24 所示,质量为 m 的质点,受不断变化的合外力 F 作用,由 a 沿曲线运动到 b,质点在 a、b 两处时的速度分别为 $v_1$ 、 $v_2$ 。考察力 F 所做的功。力 F 沿位移方向的投影是其切向分力 $F_1$ ,根据牛顿第二定律,有 $F_1 = ma_1 = m \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$ ,代入功的计算式 (1.3.5),得

$$W = \int_{a}^{b} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{a}^{b} |\mathbf{F}| \cos \theta \ |d\mathbf{r}| = \int_{a}^{b} F_{t} \ |d\mathbf{r}| \\ = \int_{a}^{b} m dv \frac{|d\mathbf{r}|}{dt} = \int_{v_{1}}^{v_{2}} mv dv = \frac{1}{2} mv_{2}^{2} - \frac{1}{2} mv_{1}^{2}$$

式中 $\frac{|\mathbf{dr}|}{\mathbf{d}t}$ =v是速率,见式(1.1.6)。这里新出现的物理量 $\frac{1}{2}mv^2$ 定义为动能,记为 $E_k$ ,即

$$E_{k} = \frac{1}{2}mv^{2} \tag{1.3.9}$$

显然,动能的单位与功的单位相同,都是 J(焦耳)。将式(1.3.9) 代入功的计算结果中,有

$$W = \int_{a}^{b} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = E_{k2} - E_{k1} = \Delta E_{k} \tag{1.3.10}$$

式中, $E_{k1} = \frac{1}{2} m v_1^2$ 、 $E_{k2} = \frac{1}{2} m v_2^2$ 分别表示物体在初态 a 处、末态 b 处的动能。此式表明:合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。这一结论称为质点的动能定理。

在这里有两点应该引起注意,一是质点的动能定理是由牛顿第二定律导出的,因此其中涉及的力应是合外力。牛顿第二定律适用于惯性系,因此质点的动能定理也只适用于惯性系;二是要

图 1-24 质点的动能定理

注意功与动能的区别, 功是和质点受力并经历位移这个过程相联系的, 过程意味着状态的变化, 因此, 可以说功是过程量。而动能是与状态相关联的, 物体的运动状态一定, 则动能就唯一地确定, 因此, 可以说动能是状态量。质点的动能定理给出了功与动能变化之间的关系, 动能的变化量在数值上等于合力的功, 所以说, 功是物体动能变化的量度。

例题 1-14

利用动能定理再解例题 1-10 第一问,求绳从水平位置下摆至 $\theta_0$ 角时小球的速率 $v_0$

解:如图 1-25 所示,小球从 a 运动到 b 的过程中,合外力做的功为

$$W = \int_{a}^{b} (\mathbf{F}_{T} + m\mathbf{g}) \cdot d\mathbf{r} = \int_{a}^{b} (0 + m\mathbf{g} \cdot d\mathbf{r})\\ = \int_{a}^{b} mg \cos \theta ds\\ = \int_{0}^{\theta_{0}} mg \cos \theta l d\theta = mgl\sin \theta_{0}$$

式中, dr 为小球沿曲线弧切向的微小位移,其大小为 $|dr|=ds=ld\theta$ ,绳中张力与位移垂直,做功为零,只有重力沿切向的分量做功。

小球初态静止,速度为零,故动能为零;小球下摆至 $\theta_0$ 角时,速率为v,动能为 $mv^2/2$ ,根

图 1-25 动能定理的应用

据动能定理,有

$$W = mgl\sin \theta_0 = \frac{1}{2}mv^2 - 0$$

解得

$$v = \sqrt{2gl\sin\theta_0}$$

1.3.3 保守力的功与势能

在一般情况下,求力所做的功需要计算曲线积分,积分路径不同,功的值就不同。但也有一类特殊的力,它们所做的功与积分路径无关。下面,先来计算重力、弹性力和万有引力的功,然后再对结果予以讨论。

1. 重力的功

如图 1-26 所示,质点沿一曲线由 a 点运动到 b 点,考虑在此过程中重力所做的功。在地面上建立坐标系, $O_{xy}$ 平面为地面,z 轴垂直地面向上,则重力的功为

$$W = \int_{a}^{b} m\mathbf{g} \cdot d\mathbf{r} \\ = \int_{a}^{b} mg(-\mathbf{k}) \cdot (dx\mathbf{i} + dy\mathbf{j} + dz\mathbf{k})\\ = -\int_{z_{a}}^{z_{b}} mg dz = -(mgz_{b} - mgz_{a}) \tag{1.3.11}$$

式中, z_a 和 z_b 分别为起点 a 和终点 b 的 z 坐标。注意这里的积分并没有指明积分曲线的具体形状。如果沿另一曲线由 a 点到 b 点计算重力的功, 所得结果同上。这说明, 重力做功与质点运动路径无关, 只与起、终点的位置有关。如果质点从一点出发, 经任意闭合曲线绕行一周又回到起点, 则在此过程中重力做功为零,即

$$\oint m\mathbf{g} \cdot d\mathbf{r} = 0 \tag{1.3.12}$$

2. 弹性力的功

如图 1-27 所示,在光滑水平面上,质点沿一曲线由 a 点运动到 b 点,考虑在此过程中,弹簧力所做的功。取质点运动平面为极坐标平面,弹簧固定点为极点,质点于任意位置 r 处所受弹簧力为 $-k(r-r_0)$ $e_r$ ,其中 k 为弹簧的劲度系数, $r_0$ 为弹簧原长, $(r-r_0)$ 为弹簧的伸长量, $e_r$ 为径向单位矢量,负号给出弹力的方向。质点由 a 到 b 弹簧力做的功为

$$W = \int_{a}^{b} -k(r-r_{0}) \boldsymbol{e}_{r} \cdot d\boldsymbol{r} = \int_{r_{a}}^{r_{b}} -k(r-r_{0}) dr\\ = -\left[\frac{1}{2}k(r_{b}-r_{0})^{2} - \frac{1}{2}k(r_{a}-r_{0})^{2}\right] \tag{1.3.13}$$

式中, $e_r$ ,· dr=dr 为位移 dr 沿 $e_r$ 的投影。 $r_a$ 和 $r_b$ 分别为起点 a 和终点 b 到 0 点的距离。这里同样没有给出曲线的具体形状,实际上所得结果对任意曲线均是成立的。换句话说就是弹簧力做功与质点的运动路径无关,只与起、终点的位置有关。如果质点从一点出发,经任意闭合曲线绕行一周又回到起点,则在此过程中弹簧力做功为零,即

$$\oint -k(r-r_0) e_r \cdot d\mathbf{r} = 0 \tag{1.3.14}$$

3. 万有引力的功

如图 1-28 所示,两个质量分别为 m'和 m 的质点,设 m'较大 固定不动,质点 m 沿一平面曲线由 a 点运动到 b 点,考虑在此过程中,万有引力所做的功。 取质点 m 运动平面为极坐标平面,m' 所在处为极点,质点 m 于任意位置 r 处所受万有引力为 $F = -G\frac{m'm}{r^2}e_r$ ,其中负号表示引力与径向单位矢量 $e_r$ 的方向相反。 质点 m 由 a 到 b 万有引力做的功为

图 1-27 弹力的功

图 1-28 万有引力的功

$$W = \int_{a}^{b} -G \frac{m'm}{r^{2}} \boldsymbol{e}_{r} \cdot d\boldsymbol{r} = \int_{r_{a}}^{r_{b}} -G \frac{m'm}{r^{2}} dr\\ = -\left[\left(-\frac{Gm'm}{r_{b}}\right) - \left(-\frac{Gm'm}{r_{a}}\right)\right] \quad (1.3.15)$$

式中, $e_r$ · dr=dr,与前面同理。 $r_a$ 和 $r_b$ 分别为起点 a 和终点 b 到 O 点的距离。这里也没有给出曲线的具体形状,实际上所得结果对任意曲线也都是成立的。换句话说就是万有引力做功与质点的运动路径无关,只与起、终点的位置有关。如果质点从一点出发,经任意闭合曲线绕行一周又回到起点,则在此过程中万有引力做功为零,即

$$\oint -G \frac{m'm}{r^2} \boldsymbol{e}_r \cdot d\boldsymbol{r} = 0 \tag{1.3.16}$$

4. 保守力和非保守力

以上分别讨论了重力、弹性力和万有引力做功的情况,它们的共同特点就是做功与路径无关。然而并不是所有各种力做功都具有这一特点,例如摩擦力做功就是与路径有关的。考察一个物体在粗糙水平面上的滑动,此时摩擦力总是与物体运动方向相反因而对物体做负功,如果起、终点位置固定,物体在起、终点之间走不同的路径显然摩擦力的功是不同的,路径越长,功的绝对值就越大,反之越小。从这个意义上说,可以把力分成两类:一类是保守力,保守力做功与路径无关,或沿任意闭合路径积分为零,即

$$\oint \boldsymbol{F}_{\mathcal{R}} \cdot d\boldsymbol{r} = 0 \tag{1.3.17}$$

除了上面提到的三种力之外,像静电力、分子力等也具有这种性质。另一类是非保守力,非保守力没有上述性质,它们的功与路径有关,例如摩擦力、爆炸力等。

5. 势能

势能的概念是与保守力做功相联系的。由于保守力做功与物体的运动路径无关,仅取决于相互作用的两物体的初态和末态的相对位置。这样,就存在一个由相对位置决定的函数。保守力的功就等于这个函数在初态和末态处的函数值之差。又因为功与能量的改变相联系,所以这个函数是一个能量函数,我们把这个函数称为势能(也称位能),或势函数,用 $E_p$ 表示。不同的保守力,具有不同的势函数,但共同点是保守力的功等于初态势能与末态势能之差,如以 a 代表初态,b 代表末态,则有

$$W_{\text{fg}} = \int_{a}^{b} F_{\text{fg}} \cdot d\mathbf{r} = E_{p}(a) - E_{p}(b) = -[E_{p}(b) - E_{p}(a)] = -\Delta E_{p} \tag{1.3.18}$$

式中, $\Delta E_p = E_p(b) - E_p(a)$ 称为势能增量,前面提出一个负号,目的是为下文导出机械能守恒定律提供方便。式(1.3.18)的物理意义通常叙述为保守力的功等于相应势能增量的负值。

势能的单位与功的单位相同,也是 J(焦耳)。

式(1.3.18) 只给出了势能的差,并不是势能本身的值。为了确定势能的值,必须选定一个参考点作为势能零点。例如,选择距离地面某一高度点为势能零点,则相对该点高度为 h 点的重力势能表示为

$$E_{nff} = mgh \tag{1.3.19}$$

选择弹簧原长作为势能零点,则伸长量为 x 时的弹性势能表示为

$$E_{p\#} = \frac{1}{2}kx^2 \tag{1.3.20}$$

选择两质点相距无限远时为势能零点,则两质点相距为r时的万有引力势能表示为

$$E_{p \neq i} = -G \frac{m'm}{r} \tag{1.3.21}$$

势能是状态(位置)的标量函数,势能本身的值与零点的选择有关,是相对的;而势能差是绝对的,因其对应初、末态间保守力的功。由于势能的概念是由物体间相互作用的保守力做功而引入的,因此势能属于由保守力相互作用的物体系所共有。非保守力不能引入势能的概念。另外,势函数随空间位置变化的情况常常通过势能曲线来形象地表示,给处理问题带来许多方便。

6. 利用势函数求保守力

式(1.3.18)的微分形式为

$$\mathbf{F}_{\mathbf{K}} \cdot \mathbf{dr} = -\mathbf{d}E_{\mathbf{p}} \tag{1.3.22}$$

此式在直角坐标系中可以写成

$$F_x dx + F_y dy + F_z dz = -dE_0 \tag{1.3.23}$$

势能 E。的全微分等于

$$dE_{p} = \frac{\partial E_{p}}{\partial x} dx + \frac{\partial E_{p}}{\partial y} dy + \frac{\partial E_{p}}{\partial z} dz \qquad (1.3.24)$$

比较式(1.3.23)和式(1.3.24),有

$$F_x = -\frac{\partial E_p}{\partial x}, \quad F_y = -\frac{\partial E_p}{\partial y}, \quad F_z = -\frac{\partial E_p}{\partial z} \tag{1.3.25}$$ $$\boldsymbol{F}_{\mathcal{R}} = -\left(\frac{\partial E_{p}}{\partial x}\boldsymbol{i} + \frac{\partial E_{p}}{\partial y}\boldsymbol{j} + \frac{\partial E_{p}}{\partial z}\boldsymbol{k}\right) \tag{1.3.26}$$

式(1.3.26)右边括号内的表达式称为势能 $E_p$ 的梯度,可简记为 $\nabla E_p$ 或grad $E_p$ ,于是有

式(1.3.26)或式(1.3.27)表明,保守力等于相应势能的负梯度。据此,可利用势函数求保守力。

1.3.4 机械能守恒定律

1. 质点系的动能定理

由两个或多个质点组成的系统称为质点系。在讨论质点系的功能关系时,由于势能属于由保守力相互作用的物体所共有,所以在划分质点系时,应将它们一并包含进去。相对质点系而言,系统外部其他质点对系统内部质点的作用力称为外力,系统内部各质点间的相互作用力称为内力。一般情况下,系统内任一质点将同时受到外力和内力的作用。对系统内第 i 个质点来说,在一段时间内,内外合力所做的功为 $W_i$ ,其动能由 $E_{kii}$ 变到 $E_{ki2}$ ,根据质点的动能定理,得

$$W_i = E_{ki2} - E_{ki1}$$

将上式对系统内所有n个质点求和,得

$$\sum_{i=1}^{n} W_{i} = \sum_{i=1}^{n} E_{ki2} - \sum_{i=1}^{n} E_{ki1}$$

上式可简记为

$$W = E_{12} - E_{11} = \Delta E_{1} \tag{1.3.28}$$

式中,W为质点系所受的外力与内力做功的总和, $E_{k2}$ 为质点系的末态动能, $E_{k1}$ 为质点系的初态动能,式(1.3.28)表明:质点系所受的外力与内力做功的总和等于质点系动能的增量。这称为质点系的动能定理。与质点的动能定理一样,质点系的动能定理也只适用于惯性系。

这里有两点需要指出:首先,质点系的内力虽然总是成对出现,大小相等方向相反,但一对内力所做的功不一定会被抵消。例如,两个人站在冰面上相互用手拉动对方,两个人相向运动,一对内力均做正功不能抵消。又如,在一个定滑轮上通过绳子一边悬挂一个物体,当系统向一边运动时,分别作用于两个物体的绳子张力所做功正负抵消。因此,作为普遍关系式(1.3.28),其中的 W 应理解为外力与内力所做功的总和,内力做功是否抵消应视具体问题决定。其次,在考虑万有引力(或重力)作用时,地球应该包含在系统内。地球和物体之间的作用力是相互的,因此做功也是相互的。可以证明:任何一对相互作用力做功的代数和,等于其中任一个物体受对方作用后移动相对位移时,对方对该物

体所做的功。通常我们选择地球作为惯性系,并视地球为静止,物体相对地球运动,我们用地球作用于物体上的力与物体相对地球的位移来计算地球对物体所做的功。从表面上看,好像只计人了地球对物体所做功,其实这样做的结果已经是计入了地球与物体间相互作用力的全部功。

2. 质点系的功能原理

对于一定的质点系,其所受的力还可按保守力和非保守力来 区分。由于我们在确定质点系时,已经把有保守力相互作用的物体全部划归到质点系内部,因此,来自于质点系外部的力不含保守力,而内力可细分为保守内力和非保守内力。这样,式(1.3.28)中的总功W可分拆为三项,即

将其代人式(1.3.28),得

$$W_{\text{sh}} + W_{\text{fkph}} + W_{\text{fkph}} = E_{\text{k2}} - E_{\text{k1}} = \Delta E_{\text{k}} \tag{1.3.29}$$

根据式(1.3.18),保守力的功等于相应势能增量的负值,可以 写为

$$W_{\text{RP}} = -(E_{p2} - E_{p1}) = -\Delta E_{p} \tag{1.3.30}$$

式中, $E_{p2}$ 为质点系的末态势能, $E_{p1}$ 为质点系的初态势能。将式 (1.3.30)代人式(1.3.29),并将 $\Delta E_{0}$ 移项到等式右边,得

$$W_{\text{th}} + W_{\text{th},\text{th}} = \Delta E_{\text{k}} + \Delta E_{\text{p}} = (E_{\text{k2}} + E_{\text{p2}}) - (E_{\text{k1}} + E_{\text{p1}})$$

定义动能与势能之和为系统的机械能,即 $E = E_k + E_p$ ,则 $E_2 = E_{k2} + E_{p2}$ 为系统末态的机械能, $E_1 = E_{k1} + E_{p1}$ 为系统初态的机械能,这样上式可以表示为

$$W_{h} + W_{\# \oplus h} = E_2 - E_1 = \Delta E \tag{1.3.31}$$

式(1.3.31)表明:外力与非保守内力所做功的代数和等于质点系机械能的增量。这一结论称为质点系的功能原理。

应该注意,在应用质点系的动能定理时,等式左边的功是一切力(包括保守力和非保守力)的功的代数和;在应用质点系的功能原理时,等式左边的功不再包括保守力的功,保守力的功已被等式右边的势能差所取代。

3. 机械能守恒定律

根据式(1.3.31),当质点系满足: $W_{h}+W_{Rh}=0$ 时,有 $\Delta E=0$ ,即 $E_{2}=E_{1}$ ,或 $E=E_{k}+E_{p}=$ 常量。用文字表述为:当外力与非保守内力所做功的代数和等于零时,系统的机械能守恒。或者表述为:当只有保守力做功时,系统的机械能守恒。这一结论称为机械能守恒定律。

应该指出,机械能守恒定律中的"守恒"是对整个系统而言的,系统内各个质点之间仍然可以进行动、势能的转化。另外,机

械能守恒定律源自牛顿第二定律,因此仅对惯性系适用。

例题 1-15

如图 1-29 所示,质量为 m 的小球与劲度系数为 k 的轻弹簧一端相连,弹簧另一端固定于 0 点。起初弹簧处于水平位置并保持原长 $l_0$ ,然后释放小球让其落下,不计一切阻力,当弹簧通过竖直位置时,弹簧长度变为 l,求该时刻小球的速率。

解:取小球、弹簧和地球组成的系统为研究对象。在此过程中只有重力和弹簧力做功,且二者均为保守力,所以系统机械能守恒。取弹簧原长 l。处为弹性势能零点,取弹簧在竖直位置时小球所在处为重力势能零点,则系统初态机械能为 $E_1 = mgl$ ,系统末态机械能为

$$E_2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}k(l-l_0)^2$$

图 1-29 弹簧摆球

由机械能守恒,有 $E_1 = E_2$ ,解出弹簧通过竖直位置时刻小球的速率为

$$v = \sqrt{2gl - \frac{k(l - l_0)^2}{m}}$$

本题若用牛顿第二定律求解较为麻烦,现用机械能守恒定律求解则很简便。一般来讲,对于不涉及过程的中间状态,仅讨论初态与末态而又满足机械能守恒条件的问题,应尽量采用机械能守恒定律来解决。

4. 宇宙速度

在地球上发射人造卫星最主要的矛盾是如何克服地心引力的问题。在忽略空气阻力和其他星体引力影响的情况下,卫星和地球组成的系统满足机械能守恒条件。设在地表上以速度 $v_0$ 发射人造卫星,卫星距离地心为 r 处时的速度为 v,则两位置处的机械能相等,即

$$-G\frac{m_{\rm E}m}{R} + \frac{1}{2}mv_0^2 = -G\frac{m_{\rm E}m}{r} + \frac{1}{2}mv^2 \tag{1.3.32}$$

式中,R 为地球半径, $m_E$ 为地球质量,m 为卫星质量。根据牛顿第二定律,沿径向(法向)有

$$G\frac{m_{\rm E}m}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$$

在地表处,若忽略惯性离心力,有万有引力等于重力,即

$$G\frac{m_{\rm E}m}{R^2}=mg$$

将此二式代入式(1.3.32),解得

$$v_0 = \sqrt{2gR\left(1 - \frac{R}{2r}\right)} \tag{1.3.33}$$

此式表明,卫星轨道半径越大,所需发射速度也就越大。取其最小值,令 $r \approx R$ ,改记此时的发射速度为 $v_1$ ,得

$$v_1 = \sqrt{gR} = 7.91 \text{ km} \cdot \text{s}^{-1} \tag{1.3.34}$$

这称为第一宇宙速度,也称环绕速度,是从地表发射卫星使其能 环绕地球运行所需的最小速度。

要使人造卫星脱离地球引力作用而飞离地球,这时有 $r\to\infty$ ,从式(1.3.32)可知,当 v=0 时对应最小发射速度,改记此时的最小发射速度为 $v_2$ ,应有

$$-G\frac{m_{\rm E}m}{R} + \frac{1}{2}mv_2^2 = 0$$

解得

$$v_2 = \sqrt{\frac{2Gm_E}{R}} = \sqrt{2gR} = 11.2 \text{ km} \cdot \text{s}^{-1} \tag{1.3.35}$$

这称为第二宇宙速度,是相对地球的逃逸速度。

人造卫星脱离太阳引力飞离太阳系所需的速度可借助 $v_2$ 的表达式(1.3.35)求得:将式中的地球质量 $m_E$ 改作太阳质量 $m_S$ 、地球半径 R 改作地球绕太阳的公转半径 $R_S$ (地球绕太阳的椭圆轨道与圆相近),则相对太阳的逃逸速度为

$$v_{\text{sb:36}} = \sqrt{\frac{2Gm_s}{R_s}} = 42.1 \text{ km} \cdot \text{s}^{-1} \tag{1.3.36}$$

由于地球绕太阳有一公转速度 $v_{\text{公转}}$ , 所以在地球上发射卫星的速度并不需要这么大, 如果卫星飞离地球时的速度方向与地球公转速度方向一致, 则所需发射速度最小, 记此最小发射速度为 $v_3$ , 根据机械能守恒定律, 有

$$-G\frac{m_{\rm E}m}{R} + \frac{1}{2}mv_3^2 = \frac{1}{2}m\left(v_{\rm BB} - v_{\rm Ch}\right)^2 \qquad (1.3.37)$$

解得 $v_3 = 16.5 \text{ km} \cdot \text{s}^{-1}$ 。如果计及其他星球的引力, $v_3$ 取值还应稍大些,有

$$v_3 = 16.7 \text{ km} \cdot \text{s}^{-1} \tag{1.3.38}$$

这称为第三宇宙速度,是从地表发射卫星使之脱离太阳系的最小 速度。

对于一个星体来说,逃逸速度与其密度直接相关。其质量越大、半径越小,也即密度越大,则其逃逸速度也就越大。当逃逸速度等于光速时,光子受引力作用也不能传出,这时该星体不能被

观测到,这样的星体称为"黑洞"。黑洞是广义相对论预言的一种天体,是天体物理学中一个有待深入研究的课题。

1.3.5 普遍的能量守恒定律

非保守力做功使质点系机械能发生变化,并不意味着能量被"创造"出来或被"消灭"掉。物质运动的形式是多种多样的,机械运动是各种运动形式中最简单的一种。在自然界里,除机械运动外,还有热运动、电磁运动、化学的运动、原子核的运动等。不同的运动形式对应着不同形式的能量,如机械能、热能、电磁能、化学能、核能等。在一定的条件下,不同的运动形式之间可以发生相互转化,与此同时,相应形式的能量之间也将随之转化。大量事实证明,在一个不受外界作用的孤立系统中,机械能的增加(或减少)必然伴随着等值的其他形式的能量的减少(或增加)。推而广之,对于一个孤立系统,能量既不能消灭,也不能创造,它只能从一种形式转化为另一种形式。这一结论称为能量守恒定律。它是自然界中最普遍、最重要的定律之一。