6.4 磁力与磁力矩

文档:磁力和磁力矩

NOTE

6.4.1

磁场对通电导线的作用力—— 安培力

将一段载流导线放入磁场中,导线将受到该场的作用力,称 该力为安培力。

计算一段任意形状的载流导线在磁场中所受的安培力,最好的方法依然是将整段导线划分成许多电流元 IdI,首先表示出任意电流元 IdI 在磁场中所受的安培力,然后再将每个电流元所受的安培力——叠加起来,即对力进行积分,这样就可以计算出整段载流导线所受的磁力了。

电流元在磁场中所受的安培力为

$$d\mathbf{F} = Id\mathbf{l} \times \mathbf{B} \tag{6.4.1}$$

上式称为安培力公式。式中的 B 是电流元 IdI 在外磁场中感受到的磁感应强度,安培力 dF 的方向垂直于 IdI 与 B 所构成的平面,其方向满足矢量叉乘关系。整段载流导线所受的安培力为

$$\mathbf{F} = \int d\mathbf{F} = \int I d\mathbf{l} \times \mathbf{B}$$

(6.4.2)

这是一个矢量积分,但是,如果各电流元 Idl 所受的力都沿相同的方向,就可以用标量积分代替,即

$$F = \int I \sin \alpha B dl \qquad (6.4.3)$$

式中 $\alpha$ 是 IdI 与 B 间的夹角。

更一般的矢量积分,可以选择在一个合适的坐标系中进行。例如在空间直角坐标系中,积分式(6.4.2)可以写成如下形式:

$$\mathbf{F} = \int d\mathbf{F} = \int I d\mathbf{l} \times \mathbf{B} = I \int \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ dl_x & dl_y & dl_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}$$

(6.4.4)

以上行列式为 $d\mathbf{l} \times \mathbf{B}$ 在直角坐标系中的一种表达形式,式中 $dl_x$ 、 $dl_y$ 、 $dl_z$ 和 $B_x$ 、 $B_y$ 、 $B_z$ 分别为 $Id\mathbf{l}$ 和 $\mathbf{B}$ 在直角坐标系的三个坐标轴上的分量。

如图 6-20 所示,在竖直向下的均匀磁场 B 中,有一个半 径为 R 的半圆环形导线,通过该导线的电流为 I。求载流导线所受到力。

解:建立如图所示的平面直角坐标系。将半圆环导线放置在 xy 平面内,其左端位于坐标原点。在半圆环载流导体线上的任意位置选取电流元 Idl,电流元的大小为 IRdφ,电流元在直角坐标系中的分量形式为

$$Idl_{x} = IR{d}\varphi\cos\theta = IR{d}\varphi\cos\left(\frac{\pi}{2}-\varphi\right)$$ $$= IR\sin\varphi{d}\varphi$$ $$Idl_{y} = IR{d}\varphi\sin\theta = IR\cos\varphi{d}\varphi$$ $$Idl_{z} = 0$$

B 在直角坐标系中只有 y 轴分量,即 $B_x = B_y = 0$ , $B_y = -B$ , 则

图 6-20 例题 6-8 图

F = I ∣ egin{vmatrix} i & j & k \ R\sin\varphi \,d\varphi & R\cos\varphi \,d\varphi & 0 \ 0 & -B & 0 ∣ \end{vmatrix} $$= ∣ \int_0^{\pi} I(-B) R\sin\varphi \,d\varphi \,k = -2IBRk$$

载流半圆环形导体所受安培力的大小为 2IBR,受力的方向沿z轴的反方向。

6.4.2 磁场对通电平面线圈的力矩

若一个线圈所围成的面是一个平面,则称这个线圈为平面线圈。当平面线圈上通上电流后,可以用右手螺旋定则确定平面线圈的法线方向 e_o(e_o为平面单位法线矢量)。

现将一个长、短边分别为 $l_1$ 和 $l_2$ 的刚性矩形平面线圈沿 abcda 方向通上电流为 I 电流后,放入磁感应强度为 B 的均匀磁场中,其单位法线矢量 $e_n$ 与 B 的夹角为 $\theta$ ,如图 6-21 所示。根据安培定律,可以计算出线圈每个边框所受的磁力。

ab 边和 cd 边所受的安培力 $\mathbf{F}_1$ 和 $\mathbf{F}_1'$ 的数值相等, $\mathbf{F}_1 = \mathbf{F}_1' = \mathbf{I} \mathbf{I}_1 \mathbf{B} \cos \theta$ 。但 $\mathbf{F}_1$ 与 $\mathbf{F}_1'$ 方向相反,并且作用在一条直线上。这对力对刚性线圈的作用效果为零。

bc 边和 da 边所受的磁力 $F_2$ 和 $F'_2$ 数值也相等,方向也相反,但是,这对力的作用线不在同一条直线上,因此形成一对力偶,对线圈产生一力矩 M,M 的数值为

$$M = Il_2Bl_1\sin\theta$$

式中 $,l_1l_2=S$ 是线圈所围平面的面积。令 $S=Se_n,$ 则上式写成矢量式为

图 6-21 磁场对通电平面线圈的 力矩

$$\mathbf{M} = \mathbf{IS} \times \mathbf{B} \tag{6.4.5}$$

若线圈是由 N 匝细导线密绕而成,则上式改写为

$$\mathbf{M} = N\mathbf{I}\mathbf{S} \times \mathbf{B} \tag{6.4.6}$$

尽管上式中的 S 是由一个矩形平面线圈推导而来,但是可以证明,上式对任何形状的平面线圈都成立。

由于通电的平面线圈本身也产生磁场,它所激发的磁感应线,从它的一个侧面出发,而从另一个侧面汇入,仿佛存在磁针的N极和S极,而磁针的N极和S极永远不能分离。所以,磁针和通电平面线圈都可以称为"磁偶极子",并用矢量 m 来表示磁偶极子的性能,m 称为磁矩。

磁矩 m 是一个矢量,它的大小 m = NIS。式中的 N 是线圈的 匝数,I 是通过每匝线圈的电流,S 是线圈所围面积。磁矩的方向 规定为通电后线圈平面的法线 $e_n$ 的方向,即

$$m = NIS \tag{6.4.7}$$

在国际单位制中,磁矩的单位是 A·m²(安平方米)。引入磁矩后,通电平面线圈在均匀磁场中所受力矩的表达式可以表示为

$$\mathbf{M} = \mathbf{m} \times \mathbf{B} \tag{6.4.8}$$

从以上讨论可以得出如下结论:① 通电刚性线圈在均匀外 磁场中,所受合外力为零,但是线圈受到力矩的作用;② 所受力矩的大小,除了与本身磁矩 m 及外磁场 B 有关外,还与 m 和 B 之间的夹角 $\theta$ 有关。当 $\theta$ = 0 时, $\sin \theta$ = 0, 力矩 M = 0, 此时, m 与 B 同向;当 $\theta$ = $\pi$ /2 时, $\sin \theta$ = 1, 此时有最大的力矩;当 $\theta$ = $\pi$ 时,虽然力矩亦为零,但线圈处于不稳平衡位置,稍有扰动,就会转过 180°而趋于平衡位置。

通电平面刚性线圈在磁场中受力矩作用,即是电动机和许多 磁电式仪表的工作原理。

6.4.3 磁场对运动电荷的作用

图 5-22 磁场对运动电荷的作用

电流是电荷的定向移动,电流在磁场中所受安培力的原因,是运动电荷在磁场中受到了洛伦兹力。参考 6.2.4 节,仍然选取一电流元为例进行讨论,如图 6-22 所示,放大后的电流元 Idl,为一小段通有电流的柱体,小柱体的长度为 dl,端面积为 $\Delta S$ ,则其体积为 $\Delta V=dl\cdot\Delta S$ ,设小柱体内全部作定向运动的正电荷的电荷量为 $dQ=dl\Delta Snq$ , (n 为电荷数密度)平均位移速度为 v,通过小柱体的电流 I=dQ/dt 代入安培公式 (6.4.1) 得

$$d\mathbf{F} = Id\mathbf{l} \times \mathbf{B} = \left(\frac{dQ}{dt}\right) d\mathbf{l} \times \mathbf{B} = \frac{\Delta Snq dldt}{dt} \mathbf{v} \times \mathbf{B} = \Delta Snq dl\mathbf{v} \times \mathbf{B}$$

于是得出一个电荷所受的力为

即

$$\mathbf{F}_{m} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{F}}{\mathrm{d}N} = \frac{\Delta S n \, \mathrm{d} l \, \mathbf{v} \times \mathbf{B}}{\Delta S n \, \mathrm{d} l} = q \, \mathbf{v} \times \mathbf{B}$$ $$\mathbf{F}_{m} = q \, \mathbf{v} \times \mathbf{B} \tag{6.4.9}$$

这就是一个电荷量为 q 的正电荷在磁场中运动时所受的力,称为洛伦兹力(单位是 N)。洛伦兹力的大小与电荷的电荷量 q、电荷的运动速度 v 的大小、电荷所在位置处的磁感应强度 B 的大小及 B 与 v 夹角的正弦成正比;力的方向垂直于 v 与 B 构成的平面,满足 v 与 B 构成的右手螺旋关系。如果运动电荷是负电荷,则其受力方向与做同样运动的正电荷所受力的方向相反。

由于洛伦兹力始终与电荷运动的方向垂直,所以,洛伦兹力 不能对电荷做功,它不改变电荷运动的速率和动能,只改变电荷 运动的方向。

当运动电荷所在的空间既有电场又有磁场时,洛伦兹力可表示为如下形式:

$$\boldsymbol{F}_{m} = q \left( \boldsymbol{E} + \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B} \right) \tag{6.4.10}$$

式中,E 为电场强度。

洛伦兹力可以很好地解释运动电荷在磁场中的运动轨迹。 利用洛伦兹力控制电荷在磁场中的运动轨迹的方法,在许多电器 设备、仪器中得到广泛的应用。

1. 在均匀磁场中运动的电荷

如图 6-23 所示,在一个磁感应强度为 B、方向垂直纸面向内的均匀磁场中,有一个电荷量为 q 的电荷,以速度 v 从 A 点处向上运动。由于 v 与 B 垂直,所以电荷所受的洛伦兹力的大小 $F_m = qvB$ ,方向如图 6-23 所示。由于洛伦兹力的方向与速度方向处处垂直,所以洛伦兹力只改变速度的方向,而不改变速度的大小,因此,洛伦兹力只能产生向心加速度,起着向心力的作用,使电荷在垂直于磁感应场的平面内做圆周运动。在此,正电荷逆时针做圆周运动,负电荷顺时针做圆周运动。

若圆周运动的半径为 R,电荷的质量为 m,由牛顿第二定律得到 $qvB=m\frac{v^2}{R}$ 。于是有

$$R = \frac{mv}{qB} \tag{6.4.11}$$

若设ω表示电荷运动的角速度(亦称圆频率),ν是电荷旋转

图 6-23 均匀磁场中运动的电荷

的频率(又称回转频率),T就是电荷旋转周期,它们的关系为

$$v = R\omega = R2\pi\nu = \frac{2\pi R}{T}$$

将上式代入式(6.4.11),得

$$T = \frac{2\pi m}{qB}$$

$\vec{\mathbf{g}}$ $\nu = \frac{qB}{2\pi m}$ (6. 4. 12)

可以看到,回转频率 $\nu$ 和回转周期T均与电荷运动的速率无关。由式(6.4.11)和式(6.4.12)可知,在其他条件不变的情况下,电荷运动的速率 $\nu$ 与其运动轨道的半径R成正比,速率大些的电荷旋转半径大一些;速率小的电荷旋转半径小一些,但是旋转一周所用的时间是相等的。

2. 霍尔效应

当通有电流的金属片放入一个与电流方向相垂直的均匀磁场后,在导体上与电流和磁场相垂直的两端之间产生了一个电势差,这种现象称为霍尔效应,由此产生的电势差称为霍尔电势差,记为 $U_{H}$ 。与该电势差相对应的电场称为霍尔电场 $E_{H}$ 。

如图 6-24 所示为一片宽为 b、厚为 a 的金属片,通有电流 I,磁感应强度与电流方向垂直。自由电子逆着电流方向运动,速度的大小为 v,每个运动电子所受洛伦兹力的大小 $F_m = evB$ ,方向向下。但是运动到导体片下端的电子不能挣脱金属的束缚,于是在下端积累起来,因此使金属片的下端带上负电;而在金属片的上端,由于缺少电子带上了正电,这样,就在金属片上、下两端建立了霍尔电场 $E_H$ 。 $E_H$ 对运动电子提供了一个向上的作用力,当 $E_H$ 足够大时,作用在电子上的霍尔电场力与作用在电子上的洛伦兹力达到平衡,此时有

$$evB = eE_{\rm H} = e\frac{U_{\rm H}}{b}$$

(6.4.13)

又由于 $I = \frac{dQ}{dt} = nevba$ ,将 $v = \frac{I}{neba}$ 代入式(6.4.13)得到霍尔电场的数值为

$$E_{\rm H} = \frac{IB}{neab} \tag{6.4.14}$$

由式(6.4.13)和式(6.4.14)得霍尔电势差为

$$U_{\rm H} = \frac{IB}{nea} = R_{\rm H} \frac{IB}{a}$$

式中,n 为单位体积中的电子数; $R_H = 1/(ne)$ ,称为霍尔系数,其大小取决于做定向移动电荷的密度。

图 6-24 霍尔效应