3.8 平均碰撞频率和平均自由程

由气体分子平均速率公式(3.6.8)可知,常温时气体分子热运动平均速率很大,多在 $10^2$ m·s^-1数量级,例如 N₂分子在 27 ℃时的平均速率约为 476 m·s^-1。但如果在距我们几米远处打开酒精瓶,却要经过几秒甚至几十秒的时间,我们才能闻到酒精的气味。为什么分子每秒能走几百米的距离,而到达几米远的某位置却要几秒甚至几十秒的时间呢?原来,在分子从某位置运动到另一位置的过程中,要与其他分子发生多次碰撞,每碰撞一次,其运动方向就改变一次,因此,在整个过程中走的是一条曲折的道路。分子每秒内受到的平均碰撞次数称为平均碰撞频率,用符号 $\overline{Z}$ 表示。分子在连续两次碰撞之间走过的平均路程称为平均自由程,用符号 $\overline{A}$ 表示。平均自由程 $\overline{A}$ 与平均碰撞频率 $\overline{Z}$ 间的关系为

$$\overline{\lambda} = \frac{\overline{v}}{\overline{Z}} \tag{3.8.1}$$

现在我们推求平均碰撞频率 $\overline{Z}$ 的表达式。为简单起见,考虑同种气体分子间的碰撞。设分子有效直径为d。首先假设其他

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NOTE

图 3-9 分子平均自由程

極極極率而至均自由程与什么因素有关:

分子都静止不动,只有一个分子以平均速率 $\bar{v}$ 运动。以该分子质心运动的轨迹为轴,以分子有效直径 d 为半径作一曲折圆柱体(图 3-9)。凡是质心位于该圆柱体内的分子,都将与运动分子发生碰撞。碰撞截面的面积为 $\pi d^2$ ,设单位体积内的分子数为 n,则每秒内运动分子平均将与 $\pi d^2 \bar{v} n$ 个分子发生碰撞,即平均碰撞次数为 $\pi d^2 \bar{v} n$ 。由于其他分子都在运动,因此该碰撞次数必须加以修正,修正后的平均碰撞次数为

$$\overline{Z} = \sqrt{2} \pi d^2 \overline{v} n \tag{3.8.2}$$

由式(3.8.1)及上式可得平均自由程为

$$\overline{\lambda} = \frac{\overline{v}}{Z} = \frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2 n}$$

(3.8.3)

又因为p=nkT,所以

$$\frac{1}{\lambda} = \frac{kT}{\sqrt{2} \pi d^2 p} \tag{3.8.4}$$

这说明,当温度一定时,分子平均自由程与气体压强成反比。

例题 3-5

计算标准状态下空气分子的平均自由程和平均碰撞频率。(空气分子的有效直径取为 $d=3.5\times10^{-10}$ m,空气的摩尔质量取为 $M=29\times10^{-3}$ kg·mol^-1。)

解: 标准状态时, 温度为 0 °C, 压强为 1.013× 10³ Pa。平均自由程为

Pa。平均自由程为

$$\bar{\lambda} = \frac{1}{\sqrt{2}\pi d^{2}n} = \frac{kT}{\sqrt{2}\pi d^{2}p}$$ $$= \frac{1.381 \times 10^{-23}\times 273}{1.41 \times 3.14 \times (3.5\times 10^{-10})^{2}\times 1.013\times 10^{5}} \text{ m}$$ $$= 6.9\times 10^{-8} \text{ m}$$

标准状态时,空气分子的平均速率为

$$\overline{v} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}} = 447 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}$$

所以,平均碰撞频率为

$$\overline{Z} = \frac{\overline{v}}{\lambda} = \frac{447}{6.9 \times 10^{-8}} \text{ s}^{-1} = 6.5 \times 10^{9} \text{ s}^{-1}$$

即标准状态下,在1s内,一个分子与其他 分子平均要碰撞几十亿次!