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3.4 温度的统计解释

或

NOTE

温度是热学中特有的一个物理量。根据理想气体物态方程 及上节中得到的理想气体压强公式,可得出温度与分子平均平动 动能之间的关系。理想气体物态方程为

pV=m′MRT(3.4.1)pV = \frac{m'}{M}RT \tag{3.4.1}

式中,R为摩尔气体常量,在国际单位制中,R≈8.314 J·mol-1· K−1K^{-1} ,m'为气体质量,M 为气体摩尔质量。现将理想气体物态方程 改写为

p=m′VRMT=NmVRNΛmT=NVRNΛTp = \frac{m'}{V} \frac{R}{M} T = \frac{Nm}{V} \frac{R}{N_{\Lambda} m} T = \frac{N}{V} \frac{R}{N_{\Lambda}} T p=nkT(3.4.2)p = nkT \qquad (3.4.2)

則

式中, k=RNA≈1.381×10−23 J⋅K−1k = \frac{R}{N_A} \approx 1.381 \times 10^{-23} \text{ J} \cdot \text{K}^{-1} , 称为玻耳兹曼常量。将式 (3.4.2) 与式 (3.4.1) 进行比较可得

ε‾kt=12mv2‾=32kT(3.4.3)\overline{\varepsilon}_{kt} = \frac{1}{2}m\overline{v^2} = \frac{3}{2}kT \tag{3.4.3}

这就是温度与理想气体分子平均平动动能间的关系。温度是宏观量,分子的平均平动动能是微观量的统计平均,因此式(3.4.3)揭示了温度的微观实质:理想气体的热力学温度是气体内部大量分子无规则热运动剧烈程度的量度。气体的温度越高,气体分子的平均平动动能就越大,分子热运动就越剧烈。

应该注意,温度的统计表示式(3.4.3)中讨论的对象是大量分子组成的热力学系统,对于个别分子谈论它的温度没有意义。

由温度的统计表示式(3.4.3),我们可以得到

v2=3kTm=3kNATmNA=3RTM\sqrt{v^2} = \sqrt{\frac{3kT}{m}} = \sqrt{\frac{3kN_AT}{mN_A}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}

(3.4.4)

式中, v2\sqrt{v^2} 为大量气体分子速率平方的平均值的平方根,称为方均根速率。由上式可知,分子的方均根速率与温度和分子质量有关。

例题 3-1​

1 \mod 氢气贮于容积为 1 \mod L 的容器中,温度为 300 \mod K,试计算气体的压强及氢气分子的方均根速率。已知氢气的摩尔质量为 M=2×10−3log⁡⋅mol−1M=2\times 10^{-3} \log \cdot \mathrm{mol}^{-1} 。

解:将 N=6.022×1023N=6.022\times 10^{23} , V=1 L=1×10−3 m3V=1\ \text{L}=1\times 10^{-3}\ \text{m}^{3} ,
T=300 KT=300\ \text{K} 代入式(3. 4. 2)得

p=nkT=NVkTp=nkT=\frac{N}{V}kT =6.022×10231×10−3×1.381×10−23×300 Pa=\frac{6.022\times 10^{23}}{1\times 10^{-3}}\times 1.381\times 10^{-23}\times 300\ \text{Pa} =2.49×106 Pa= 2.49\times 10^6 \text{ Pa}

将 T=300 KT=300 \text{ K} , M=2×10−3 kg⋅mol−1M=2\times 10^{-3} \text{ kg} \cdot \text{mol}^{-1} 代人

式 (3.4.4)(3.4.4) 得

v2‾=3RTM=3×8.314×3002×10−3 m⋅s−1≈1.93×103 m⋅s−1\sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} = \sqrt{\frac{3 \times 8.314 \times 300}{2 \times 10^{-3}}} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} \\ \approx 1.93 \times 10^3 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

例题 3-2​

容器中贮有 1 mol 的氮气,压强为 1.33 Pa,温度为 7 C7 \, \mathbb{C} ,求:(1)1 m³中的氮气分子数;(2)容器中氮气的密度;(3)1 m³中氮气分子的总平动动能。

解:(1) 由 p=nkTp = nkT ,有

n=pkT=1.331.381×10−23×(273+7) m−3n = \frac{p}{kT} = \frac{1.33}{1.381 \times 10^{-23} \times (273+7)} \text{ m}^{-3} =3.44×1020 m−3= 3.44 \times 10^{20} \text{ m}^{-3}

(2) 由 pV=m′MRTp V = \frac{m'}{M} R T ,有

ρ=m′V=pMRT=1.33×28×10−38.314×(273+7) kg⋅m−3\rho = \frac{m'}{V} = \frac{p M}{R T} = \frac{1.33 \times 28 \times 10^{-3}}{8.314 \times (273+7)} \text{ kg} \cdot \text{m}^{-3} =1.60×10−5 kg⋅m−3= 1.60\times 10^{-5} \text{ kg} \cdot \text{m}^{-3}

(3) 由 p=23nε‾ktp = \frac{2}{3} n \overline{\varepsilon}_{kt} , 有

nε‾kt=32p=32×1.33 J⋅m−3n \overline{\varepsilon}_{kt} = \frac{3}{2} p = \frac{3}{2} \times 1.33 \text{ J} \cdot \text{m}^{-3} =1.995 J⋅m−3= 1.995 \text{ J} \cdot \text{m}^{-3}