2.5 纯滚动

2.5 他滚动

圆柱体或球体沿一直线滚动,属于刚体的平面平行运动。滚动的形成是由于摩擦力在起作用。在完全光滑的平面上,物体只有滑动而无滚动。在粗糙的平面上,物体出现滚动的条件是摩擦力要足够大。物体滚动的同时是否还存在滑动,要视摩擦力的大小

NOTE

而定。摩擦力越大,越不容易产生滑动。当摩擦力大到一定程度时, 将出现只滚不滑的情况, 称为纯滚动。此时的摩擦力有一个临界值。

2.5.1 纯滚动运动学

如图 2-19 所示,设半径为 r 的圆柱体在一平面上做纯滚动, 圆柱体的纯滚动可看作是圆柱体质心的平动和绕过质心轴的转 动的合成。这里,圆柱体的质心轴就是其几何对称轴(即图中过圆 心 C 点且垂直图面的轴)。当圆柱体做纯滚动时,描述其质心的平 动与绕过质心轴的转动的物理量之间存在一定的对应关系。沿圆 柱体滚动方向建立 x 轴,圆柱体向前滚过一周,其质心前进的距离 等于圆柱体的圆周长,即 $x_c = 2\pi r$ ,其中 $2\pi$ 是圆柱体的某一半径在 圆柱体滚动一周时相对质心轴所转过的角度。显然,若圆柱体做纯 滚动时某一半径相对质心轴转过 $\theta$ 角,则圆柱体质心前进的距离为

$$x_c = r\theta \tag{2.5.1}$$

将上式两边对时间求导数,得到质心速度与绕过质心轴转动的角 速度之间的关系:

$$v_c = \frac{\mathrm{d}x_c}{\mathrm{d}t} = r\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = r\omega \tag{2.5.2}$$

再次求导,得到质心加速度与绕过质心轴转动的角加速度之间的 关系:

$$a_c = \frac{\mathrm{d}v_c}{\mathrm{d}t} = r\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} = r\beta \tag{2.5.3}$$

式(2.5.1)—式(2.5.3)是圆柱体(或球体)在平面上做纯滚动时 的运动学公式。由于这里的质心平动是一维的目运动中质心轴 的空间指向不变,所以上述各量均以标量形式出现。

2.5.2 纯滚动动力学

圆柱体的纯滚动可看作是圆柱体质心的平动和绕过质心轴 的转动的合成。质心的平动满足质心运动定理,即

$$\boldsymbol{F} = m\boldsymbol{a}_c \tag{2.5.4}$$

式中,F是圆柱体所受的合外力。此式在应用时,对应两个正交 方向的分量式。

上节中已经提到,物体绕过质心轴转动时,如果质心做加速 平动,则固定于质心的坐标系(这里指质心轴)属于非惯性系,但由

图 2-19 圆柱体的纯滚动

于惯性力是通过质心的,并不产生附加的外力矩。所以,相对过质心且做平动的轴的转动与相对惯性系中固定轴的转动情况是相同的。因此,圆柱体绕过质心轴的转动遵从定轴转动定律,即

$$M = I_c \beta \tag{2.5.5}$$

式中,M 是相对过质心轴的合外力矩, $I_c$ 是刚体绕过质心轴的转动惯量。式(2.5.4)和式(2.5.5)是处理圆柱体(或球体)在平面上做纯滚动时的动力学基本方程。

处理纯滚动问题还有一个特殊方法,称为瞬时轴方法。如图 2-20 所示,在圆柱体沿斜面做纯滚动过程中,某时刻圆柱体与斜面相接触的是过图中 P 点且垂直图面的一条直线,将这条直线称为该时刻的瞬时轴。在该时刻,瞬时轴相对地面惯性系是静止的,相当于惯性系中的固定转轴,圆柱体在该时刻的纯滚动可看作是圆柱体绕该瞬时轴的纯转动,适用定轴转动定律,即

$$M_P = I_P \beta \tag{2.5.6}$$

式中, $M_p$ 是相对过 P 点瞬时轴的合外力矩, $I_p$ 是圆柱体绕过 P 点瞬时轴的转动惯量,它与绕过质心轴的转动惯量 $I_c$ 之间满足平行轴定理,即

$$I_P = I_C + mr^2 (2.5.7)$$

圆柱体做纯滚动时,绕过质心轴 C 的角加速度与绕过 P 点瞬时轴的角加速度相等,因此在式(2.5.5)和式(2.5.6)中角加速度 $\beta$ 均未加下标。

这样,在应用式(2.5.6)求解纯滚动问题时,可不必再用质心运动定理式(2.5.4),只需对转动惯量进行转换即可,这在处理某些纯滚动问题时,可简化计算,但有时也可能使得某些量无法求出。

图 2-20 瞬时轴

例题 2-13

如图 2-21 所示,质量为 m、半径为 r 的均质圆柱体从倾角为 $\theta$ 的固定斜面上无滑动滚下,斜面与圆柱体间的静摩擦因数为 $\mu$ 。。求:圆柱体质心的加速度以及圆柱体只滚不滑的条件。(圆柱体绕过质心轴的转动惯量为 $I_c = mr^2/2$ 。)

解:求质心加速度可用三种解法,求只滚不滑条件只有第一种解法。

解法一:按质心平动与绕过质心轴的转 动处理

选取沿斜面向下方向为 x 轴正向,垂直 斜面指向圆柱方向为 y 轴正向,圆柱体所受

力有三个:竖直 向下的重力,大 小为 mg;沿 y 轴正向的斜面

图 2-21 圆柱体沿斜面的 纯滚动

支持力,大小为 $F_n$ ;沿 x 轴负向的摩擦力,大小为 $F_n$ 。设圆柱体质心加速度沿斜面方

向的分量为 $a_c$ ,垂直斜面方向受力平衡,质心加速度为零。根据质心运动定理,有

$$\begin{cases} mg\sin \theta - F_{fs} = ma_c \\ F_N - mg\cos \theta = 0 \end{cases}$$

对过质心的转轴应用转动定律,重力和斜面 支持力的作用线均通过质心轴,不产生力 矩:只有摩擦力提供外力矩,所以有

$$F_{fs}r = I_C \beta = \frac{1}{2} mr^2 \beta$$

此外,纯滚动满足运动学公式:

$$a_c = r\beta$$

将以上四式联立求解,得

$$a_c = \frac{2}{3}g\sin\theta$$

, $F_{f_0} = \frac{1}{3}mg\sin\theta$ , $F_N = mg\cos\theta$

当摩擦力 $F_{t_0}$ 不超过最大静摩擦力 $F_{t_0, m_0} = \mu_{\star} F_{N}$ 时,圆柱体只滚不滑,即

$$F_{f_8} = \frac{1}{3} mg \sin \theta \leq \mu_s F_N = \mu mg \cos \theta$$

于是得出圆柱体只滚不滑的条件为

$$\mu_* \geqslant \frac{1}{3} \tan \theta$$

解法二:采用瞬时轴方法

过瞬时轴的转动惯量 $I_P = I_c + mr^2 = \frac{3}{2}mr^2$ ,

斜面支持力 $F_N$ 与摩擦力 $F_G$ 的作用线均通 过瞬时轴,不产生力矩;只有作用于质心的 重力相对瞬时轴产生力矩 $M_P = mgr\sin\theta$ .根

据式(2.5.6),有

$$mgr \sin \theta = \frac{3}{2} mr^2 \beta$$

再考虑纯滚动运动学公式:

$$a_c = r\beta$$

以上两式联立,解出的 ac 结果同上。

由于在此方法中摩擦力不出现,所以无 法求出圆柱体只滚不滑的条件,这也看出瞬 时轴方法有其局限性。

解法三:按机械能守恒处理

圆柱体只滚不滑,每时每刻静摩擦力所作用的圆柱体边缘上的质元的位移都为零,所以摩擦力对圆柱体不做功,斜面支持力与运动方向垂直也不做功,圆柱体只受重力作用,系统机械能守恒。设圆柱体初态静止,质心沿斜面运动距离 $x_c$ 时为末态。初态圆柱体只有重力势能,末态圆柱体只有相对瞬时轴的转动动能。于是相对地面惯性系,有

$$mgx_c \sin \theta = \frac{1}{2}I_p\omega^2 = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}mr^2\right)\omega^2$$

将此式两边对时间求导数,利用 $v_c = \frac{\mathrm{d}x_c}{\mathrm{d}t}$ =

rω、得出

$$a_c = r\beta = r \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} = \frac{2}{3}g\sin\theta$$

结果与上面相同。

这种方法也不涉及摩擦力,同样也不能求出圆柱体只滚不滑的条件。

不过从上面相对瞬时轴的转动动能结果可以得出一个有意义的结论:

$$\frac{1}{2}I_{p}\omega^{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}mr^{2}\right)\omega^{2} = \frac{1}{2}mr^{2}\omega^{2} + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}mr^{2}\right)\omega^{2} \\ \quad = \frac{1}{2}mv_{c}^{2} + \frac{1}{2}I_{c}\omega^{2}$$

此式表明:圆柱体相对瞬时轴的转动动能,也就是圆柱体的动能,

等于圆柱体质心的平动能与绕过质心轴的转动动能之和。即

$$E_{k} = \frac{1}{2}mv_{c}^{2} + \frac{1}{2}I_{c}\omega^{2}$$

(2.5.8)

这和我们将圆柱体的纯滚动看作是圆柱体质心的平动与绕过质 心轴的转动的合成是一致的。