5.6 静电场中的电介质

理想的电介质是不能导电的物质,又叫绝缘体。其特点是,内部所有电子都被原子核牢牢地束缚着,通常情况下电子不能自由地从一个原子(或分子)移动到另外的原子(或分子)上去,即电介质中不存在可以自由移动的自由电子。

考察电介质分子的电行为时,可将分子中多个原子核总体 在空间产生的电效果,等效于所有原子核所带的电荷集中于分 子中一点产生的效果,这个等效点称为分子的正电中心;而分 子中所有负电荷在空间的电效果,等效于所有的负电荷集中于 分子中一点产生的效果,该点被称为分子的负电中心。有一类 分子的正、负中心恰好重合,分子对外不显电性质。例如 H₂(氢 气)、N₂(氮气)、O₂(氧气)、CO₂(二氧化碳)、CH₂(甲烷)及惰性 气体 He( 氦气)、Ne( 氖气)、Ar( 氩气)等,统称这类分子为无极 分子,如图 5-40(a) 所示。还有一类分子正、负电荷中心不重 合。由于正、负电中心有一微小的距离 1, 所以就形成了一个电 偶极子,其电偶极矩 $p_{a} = ql$ 。这样的分子称为有极分子,例如 H₂O(水蒸气)、H₂S(硫化氢)、NH₃(氨)等,如图 5-40(b)所示。 就电性而言,每个有极分子都是一个小的电偶极子,在由它们 所组成的电介质中,在分子热运动的影响下,所有电偶极矩的 取向各不相同,电偶极矩在任何时刻沿各方向取向的概率是 相同的。无外电场时,各分子的电偶极矩 $p_a = ql$ 的矢量和 $\sum p_{ei} = 0$ ,对外呈电中性。当将电介质放入电场后,电介质中 分子的电性质将显露出来。

图 5-40 无极分子与有极分子

5.6.1 电介质的极化

在外电场作用下,上述两类分子都会极化,所谓极化,是指电介质在电场中出现了电性质。按极化机制,电介质的极化分为位移极化和取向极化两类。

(b) 有极分子

文档:静电场中的电介质

1. 位移极化

如图 5-41(a)所示,对无极分子来说,在外电场的作用下,每个分子的正、负电中心要发生相对位移。位移后每个分子或原子就成了一个电偶极子,其电偶极矩 $p_e$ 的方向与外电场的方向相同。在一定限度内,外电场越强,正负电荷中心的相对位移就越大,等效的电偶极矩就越大。电场撤去后,正、负电中心又重合起来。所以,无极分子类似一个"弹性电偶极子"。在外电场的作用下,电介质中各个电偶极矩的矢量和不再等于零( $\sum_i p_{ei} \neq 0$ )。对一块均匀的电介质整体来说,体内仍是正、负电荷效果相抵消,没有净的电荷体密度,但在与外电场相垂直的电介质的两个端面上,分别出现了未被抵消的正、负电荷,这种极化称为位移极化。

2. 取向极化

如图 5-41(b)所示,对有极分子来说,外电场的作用使原来沿各个方向的电偶极矩受到一个力矩的作用,从而使它们向外电场方向转向,当外电场较弱时,由于分子热运动的缘故,这种转向并不能使足够多的分子沿外电场方向排齐,极化现象也不明显,外电场越强,极化现象就越强。这种极化称为取向极化。

尽管两种极化的方式不同,但其效果却是一样的,如图 5-41(b)所示,对于均匀电介质内某个局域来讲,在极化时其内部各处仍是电中性的,电荷体密度为零。而在电介质的端面,出现极薄的一层没有被抵消掉的电荷,一面为负电荷,另一面为正电荷。

这些电荷与导体中的自由电子不同,它们不能离开电介质,也不能在电介质中自由流动,每个电荷都被束缚在某个分子上,故称这些电荷为束缚电荷。又因为这些电荷是由于极化而产生的,所以又称为极化电荷。单位面积上的束缚电荷面密度用 $\sigma'$ 表示。需要指出的是,位移产生的电偶极矩与有极分子的固有电偶极矩相比要小得多。对于有极分子电介质,当电场较强时,两种极化同时存在,只是取向极化的效果更占优势而已。

5.6.2 电极化强度

为了描述电介质在外电场作用下极化的程度,这里引入电极化强度 P。

在电介质中任取一小体积元 $\Delta V$ ,要求 $\Delta V$ 从宏观角度看是足够小的,以保证小体积所在的位置近似是空间的一点;同时,从

微观角度看, $\Delta V$ 又是足够大的,以保证 $\Delta V$ 中有足够多的电偶极子。若体积 $\Delta V$ 中电偶极矩的矢量和为 $\sum_{i}$ $p_{ei}$ ,则定义电极化强度为

$$\boldsymbol{P} = \frac{\sum_{i} \boldsymbol{p}_{ei}}{\Delta V} \tag{5.6.1}$$

在国际单位制中,电极化强度 P 的单位是 C·m^-2(库仑每平方米)。电极化强度是一个矢量,它表示电介质中单位体积内电偶极矩的矢量和。

实验表明,对于各向同性电介质,当电场强度 E 不太强时,电极化强度 P 与电介质中的电场强度 E 成正比,即 $P \propto E$ 。在国际单位制中,取比例系数为 $\varepsilon_0 X_s$ ,于是有

$$P = \varepsilon_0 X_s E \tag{5.6.2}$$

式中, $X_a$ 称为电极化率,它与具体所选用的电介质有关,不同的电介质有不同的 $X_a$ 。

电极化产生的效果是电偶极矩的矢量和不再为零,即 $\sum_{i} p_{ei} \neq 0$ 。电极化的另一个表现是,在电介质表面上出现 $\pm \sigma'$ 。 P 和 $\sigma'$ 是同一种事情的两种表现,它们之间必有某种联系。

如图 5-42 所示,在均匀电介质中取一长为 l、底面积为 $\Delta S$ 、体积为 $\Delta V$ 的斜柱体,电极化强度 P 平行于斜柱体轴线,斜柱体底面外法线用单位法线矢量 e。表示,斜柱体两个底面上出现束缚电荷,其电荷面密度分别为 $\pm \sigma'$ 。若将斜柱体看作一个由正、负电荷构成的电偶极子,其电偶极矩为

$$p_{\alpha} = ql = \sigma' \Delta Sl$$

若将斜柱体看成一个极化的斜柱体,按照电极化强度定义, 它所包含的总的电偶极矩为

$$p_{\text{B}} = \sum_{\text{e}} p_{\text{e}i} = P\Delta V = P\cos \theta \Delta S l = P_{\text{n}} \Delta S l$$

式中, $\theta$ 表示外法线矢量 $e_n$ 与表面处极化强度 P 的夹角; $\cos \theta \Delta Sl$ 是斜柱体的体积;由于 P 的方向与 l 的方向一致,故以 l 取代 P 的地位来表示方向;上式中的 $P_n = P\cos \theta$ 表示表面处的电极化强度 P 的法向分量,以上两式相等,故有

$$P_n = \mathbf{P} \cdot \mathbf{e}_n = \sigma' \tag{5.6.3}$$

在图 5-42 中,斜柱体右端面处 $\theta < \pi/2$ ,依式(5.6.3), $\sigma'$ 为正;而在左端面处 $\theta > \pi/2$ , $\sigma'$ 为负;当 $\theta = \pi/2$ 时, $\sigma' = 0$ 。由此可见,电介质极化时在其任意界面上出现束缚电荷的面密度 $\sigma'$ 在数值上等于电极化强度矢量 P 沿外法线方向的分量 $P_{\sigma}$ 。

图 5-42 P 与 σ'的关系

5.6.3 电介质中的电场

图 5-43 介质极化产生附加电场 E'

图 5-44 充满电介质的导体平行 板内的电场

如图 5-43 所示,将一块电介质放入外电场 $E_0$ 中,电介质两端面因极化出现束缚电荷,束缚电荷的面密度分别为 $\sigma'$ 和 $-\sigma'$ ,这些束缚电荷也要在空间各处产生附加电场 E'。在电介质内部,附加电场 E'与外加电场 $E_0$ 反向;在电介质外部,E'可与 $E_0$ 成各种夹角。所以空间任何一点的电场强度 E 为两部分所合成,它等于引起极化的外电场 $E_0$ 和束缚电荷产生的附加电场 E' 的叠加,即 $E=E_0+E'$ 。下面以均匀电场中充满均匀电介质为例,说明如何确定电介质中的电场强度。

如图 5-44 所示,两平行导体板上均匀带有电荷,电荷面密度分别为 $\pm \sigma$ ,它产生使电介质极化的外电场 $E_0$ ,依高斯定理和场强的叠加原理,可得两导体板之间的场强为

$$E_0 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$$

电介质充满两平行导体板之间,由于极化,在电介质上、下两端面出现束缚电荷,束缚电荷的面密度分别为 $\sigma'$ 和 $-\sigma'$ 。同上原因,束缚电荷在电介质内产生的附加电场为

$$E' = \frac{\sigma'}{\epsilon}$$

其方向与 $E_0$ 相反。根据电介质中的电场强度 $E = E_0 + E'$ , 故

$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} - \frac{\sigma'}{\varepsilon_0} = E_0 - \frac{\sigma'}{\varepsilon_0}$$

由式(5.6.3)并考虑到极化强度 P 与端面垂直,故得 $P = \sigma'$ 。再利用式(5.6.2) $P = \varepsilon_0 X_e E$ 可得 $\sigma' = \varepsilon_0 X_e E$ ,与上式结合,有

$$E = E_0 - \frac{\varepsilon_0 X_e E}{\varepsilon_0}$$

即

$$E = \frac{E_0}{1 + \chi_e} = \frac{E_0}{\varepsilon_r} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0 \varepsilon_r} = \frac{\sigma}{\varepsilon}$$

(5.6.4)

其方向与 $E_0$ 相同。式中 $\varepsilon_r$ = 1+ $X_e$ 称为相对介电常量,它取决于电介质本身的介电性质。 $\varepsilon$ = $\varepsilon_0 \varepsilon$ , 称为介电常量。表 5-1 列出一些常用材料的相对介电常量。式(5.6.4)表明当平行导体板上电荷不变时,电介质的引入使平行导体板之间的电场强度的大小和两导体板间的电势差都减小了。

表 5-1 部分材料的相对介电常量
电介质名称	$\varepsilon_r$	电介质名称	$\varepsilon_r$
真空(按定义)	1	玻璃	5~10
石蜡	2.1	陶瓷	5.7~6.8
琥珀	3	纸	3.5
聚苯乙烯	1.7	胶木	7.6
橡胶	3	石英	5
硫黄	4	大理石	8
空气(标准状态)	1.000 59	甘油	50
冰(1.103 $\times$ 105 Pa)	78	聚乙烯	2.3
云母	3.7~7.5	钛酸钡	103~104

5.6.4 电介质中的高斯定理

在有电介质存在的情况下,由于出现了束缚电荷,高斯定理。 单电场的两个基本定理是什么? 的形式也将有所改变。

如图 5-45 所示,在一对平行的导体板之间充满了某种均匀 的电介质,在其中选取一扁平的柱形高斯面,高斯面的两端面均 与导体板平行。其中左端面位于导体板内,右端面位于介质内, 于是高斯定理表示为

$$\oint_{S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{1}{\varepsilon_{0}} (q + q')$$

(5.6.5)

式中,E 是由自由电荷和束缚电荷共同产生的,q 和 q'分别代表 高斯面内包含的净自由电荷和净束缚电荷,两种电荷电性相反。

用同样的高斯面也可以分析电极化强度 P 的通量为

$$\oint_{S} \mathbf{P} \cdot d\mathbf{S} = \int_{\mathcal{F}} \mathbf{P} \cdot d\mathbf{S} + \int_{\mathcal{F}_{1}} \mathbf{P} \cdot d\mathbf{S} + \int_{\mathcal{M}} \mathbf{P} \cdot d\mathbf{S}$$

由于高斯面的左端面取在导体板内,而导体板内的电极化强 度 P=0, 所以, 其通量也为零。而高斯面的侧面与 P 平行, 所以 电极化强度 P 在侧面的通量也为零。在高斯面的右端面处 P 与 dS 平行,即 $P \cdot dS = P\cos\theta dS = P_n dS = PdS$ ,而 $P_n = P\cos\theta dS = P =$ $\sigma'$ ,所以有

$$\oint_{S} \mathbf{P} \cdot d\mathbf{S} = \int_{f_{0}} \mathbf{P} \cdot d\mathbf{S} = \int_{f_{0}} P_{n} dS = \int_{f_{0}} \sigma' dS = -q'$$

即

$$\oint_{S} \mathbf{P} \cdot d\mathbf{S} = -q' \tag{5.6.6}$$

静电场的两个基本定理是什么?

图 5-45 电介质中的高斯定理

由于在上式中,P 自高斯面内穿出,故 P 的通量 $\oint_s P \cdot dS$ 为正值,而上述所选高斯面内包围的束缚电荷 q' 却是负值,所以只有在 q' 前加上负号,式 (5.6.6) 才能成立。将此结果代入式 (5.6.5),得

$$\oint_{S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{1}{\varepsilon_{0}} (q - \oint_{S} \mathbf{P} \cdot d\mathbf{S})$$

即

$$\oint_{S} (\varepsilon_0 E + P) \cdot dS = q$$

令 $D = \varepsilon_0 E + P$ ,则有

$$\oint_{S} \mathbf{D} \cdot d\mathbf{S} = q \tag{5.6.7}$$

这就是有电介质存在时的高斯定理,其中 D 称为电位移,其单位是 $C \cdot m^{-2}$ (库仑每平方米)。在此着重强调,式(5.6.7)中的 q 仅是高斯面内所包含的所有自由电荷的代数和,而式(5.2.5)右边的电荷却是任何种类的电荷。

形象描述 D 的空间分布曲线称为电位移线(即 D 线), D 线仅与自由电荷有关。式(5.6.7)的物理意义为:穿过闭合曲面的电位移通量,等于闭合面内所包围的所有自由电荷的代数和。图 5-46 给出描述 $D \setminus E \setminus P$ 的三种空间分布曲线的关系。

对于各向同性电介质(所谓各向同性电介质,是指在电介质的内部沿任意方向,电介质的电性质都是一样的),当场强不太大时,有

代入式 $D = \varepsilon_0 E + P$ , 去掉其中的 P 得

$$D = \varepsilon_0 E + \varepsilon_0 \chi_e E = \varepsilon_0 (1 + \chi_e) E = \varepsilon_0 \varepsilon_r E$$

即

$$\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E} \tag{5.6.8}$$

电介质中的高斯定理同样反映了静电场的性质,对静电场普遍适用,同时也提供了在已知自由电荷的分布和电介质相对介电常量 $\varepsilon$ ,的情况下,求解静电问题的一种方法。当场强和电介质分布具有某种形式的对称性或分区均匀时,可循下列步骤求解:

• (1) 根据已知的自由电荷分布,依式(5.6.7) 计算出电位移 D;
• (2) 根据电介质特性,依式(5.6.6)或式(5.6.8)计算出介质中的场强 E:
  • (3) 依式(5.6.2) 计算电极化强度 P;

什么是电位移矢量?对于线性、均 匀各向同性的介质,电位移矢量、 极化强度和电场强度之间是什么 关系?

图 5-46 D、E、P 线及其关系

(4) 依式(5.6.3)计算表面束缚电荷面密度 $\sigma'$ 。

5.6.5 静电场的边界条件

与光线会在两种介质的交界面发生折射一样,电场强度 E、电位移 D 在两种电介质的交界面上,也会发生偏折。这是由于在交界面处的两种电介质中 D 和 E 的分量不同。D、E 在两种电介质中分量的关系,称为电场的边界条件。

(1) E 的切向分量连续,D 的切向分量跃变。如图 5-47 所示,设两种电介质的相对介电常量分别为 $\varepsilon_{c1}$ 和 $\varepsilon_{c2}$ ,在紧靠界面处取矩形环路 abcda,且线段 da、 $bc\rightarrow 0$ ,由于 E 是保守力场,所以有

\int_{cd} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} + \int_{da} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = 0$$ 考虑到 $da \ bc \rightarrow 0$ , 所以 E 沿 da 和 bc 的线积分为零, 于是有

\oint_{abcda} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = E_1 \sin \theta_1 ab - E_2 \sin \theta_2 cd = 0

$$即$$

E_1 \sin \theta_1 ab = E_2 \sin \theta_2 cd

$$因为 ab=cd,故$$

E_1 = E_2

(5.6.9) 式中, $E_1$ 、 $E_2$ 表示相邻两电介质中的场强 $E_1$ 、 $E_2$ 分别在沿界面两边上的分量,即切向分量。因为 $D = \varepsilon_0 \varepsilon_1 E_2$ ,有

D_{11} = \varepsilon_0 \varepsilon_{r1} E_{11}

, $D_{21} = \varepsilon_0 \varepsilon_{r2} E_{21}$ 故

\frac{D_{2t}}{D_{1t}} = \frac{\varepsilon_{t2}}{\varepsilon_{c1}}

$$(5. 6. 10) 式(5.6.9)表明,在界面处两种电介质中 E 的切向分量是连续的,式(5.6.10)则表示 D 的切向分量是跃变的。 (2) **D** 的法向分量连续,**E** 的法向分量跃变。如图 5-48 所示,在界面附近,垂直界面,取一极薄的圆柱形高斯面,两端面分别处于两种介质中。由于高斯面内所围自由电荷为零,依式(5.6.7)有$$

\oint_{S} \mathbf{D} \cdot d\mathbf{S} = 0

$$又$$

\oint_{S} \mathbf{D} \cdot d\mathbf{S} = \int_{{上}} \mathbf{D} \cdot d\mathbf{S} + \int_{{下}} \mathbf{D} \cdot d\mathbf{S}

$$$$

= D_{2} \cos \theta_{2} \Delta S - D_{1} \cos \theta_{1} \Delta S = 0

$$ 图 5-47 电场切向分量的边界 条件  图 5-48 电场法向分量的边界 条件$$

D_{2n} = D_{1n} \tag{5.6.11}

$$式中, D1, 、D2, 分别表示电位移在各自电介质界面上的法线分量。 又因为$$

D = \varepsilon_0 \varepsilon_r E

, $D_{1n} = \varepsilon_0 \varepsilon_{r1} E_{1n}$ , $D_{2n} = \varepsilon_0 \varepsilon_{r2} E_{2n}$ , 故

\frac{E_{2n}}{E_{1n}} = \frac{\varepsilon_{rl}}{\varepsilon_{c2}} \tag{5.6.12}

$$式(5.6.11)和式(5.6.12)分别说明,在界面处两种电介质中D的法向分量是连续的,E的法向分量是跃变的。$$