3.3 理想气体压强公式

文档:理想气体压强公式

NOTE

根据气体动理论,封闭在容器中的一定量的气体,其所有分 子都在做不规则热运动,气体内壁不停地受到气体分子的碰撞。 就单个分子来说,它何时、以什么角度、用多大的力对器壁进行碰 撞完全是偶然的。所以,从微观上看,器壁受到的是一次次间断 的、不规则的冲击。但从大量分子整体来看,宏观上,气体作用在 器壁上的却是一个连续的力。气体的压强就是这种力的作用引 起的,在数值上等于单位时间内与单位面积器壁碰撞的所有分子 总冲量的统计平均值。

3.3.1 理想气体微观模型

理想气体是一种最简单的热力学系统,是实际气体在压强不 太高、温度不太低情况下的理想化、抽象化结果。从微观上看,当 仅考虑分子质心的运动时,理想气体具有如下特点:

• (1) 分子本身的大小远小于分子之间的距离,因此分子可看 作质点;
• (2) 由于分子力的作用距离很短,除碰撞的一瞬间外,分子 从微观上看,温度和压强的意义是 之间及分子与器壁间的相互作用可忽略不计;
  • (3) 分子之间及分子与器壁间的碰撞是完全弹性的。

什么?

3.3.2 压强的微观解释

在推导理想气体压强公式时,对处于平衡状态下的理想气体 我们还假设:① 重力的影响忽略不计,即认为容器内任意位置的 分子数密度(单位体积内的分子数)均相等;② 任意时刻,分子沿 任意方向运动的概率相等。

考虑一棱长为l的立方体容器(图 3-3),里面贮有N个质量为m的同种理想气体分子。考虑到在平衡状态时,容器器壁各处压强相同,所以任选器壁的一个面,例如选择与x轴垂直的 $A_1$ 面,计算其所受的压强。

首先分析一个分子的运动对器壁的冲力。任选一个分子 i,其速度为 $v_i$ ,在如图直角坐标系中, $v_i$ 沿 x、y、z 三个坐标轴的分量的大小分别为 $v_{ix}$ 、 $v_{iy}$ 、 $v_{iz}$ 。 当分子 i 与器壁 $A_1$ 面碰撞时,由于碰撞是完全弹性的,所以,该分子沿 x 轴方向的速度分量由 $v_{ix}$ 变为 $-v_{ix}$ ,而沿 y 轴和 z 轴方向的速度分量不变,因此,在碰撞过程中该分子的动量增量为

$$\Delta p_i = \Delta p_{ix} = -mv_{ix} - mv_{ix} = -2mv_{ix}$$

此动量增量来自于器壁对它的冲量,所以一次碰撞中该分子对器壁的冲量为 $2mv_{ix}$ 。分子 i 与 $A_1$ 面碰撞后被弹回并飞向与 $A_1$ 面相对的 $A_2$ 面,与 $A_2$ 面发生弹性碰撞后又回到 $A_1$ 面进行碰撞(应当注意,分子 i 在 $A_1$ 面和 $A_2$ 面之间运动时,可能会与其他分子碰撞,但由于质量相等的质点做完全弹性碰撞时交换速度,故就气体整体来说,可等价为分子 i 由器壁的一个面直接飞到另一面)。由此可见,分子 i 相继两次与 $A_1$ 面碰撞所需时间为 $2l/v_{ix}$ ,因此,单位时间内分子 i 对 $A_1$ 面撞击的次数为 $v_{ix}/2l$ ,而一次碰撞对器壁的冲

量为 $2mv_{ix}$ , 所以,单位时间内,分子 i 对 $A_1$ 面的冲量为 $\frac{v_{ix}}{2l} \cdot 2mv_{ix} = \frac{2mv_{ix}^2}{2l}$ , 也即分子 i 对 $A_1$ 面的平均冲力为

$$\overline{F}_{ix} = \frac{2mv_{ix}^2}{2l} = \frac{mv_{ix}^2}{l}$$

实际上,容器中有N个分子,N个分子对器壁 $A_1$ 面的总的平均冲力为

$$\overline{F}_x = \sum_{i=1}^N \overline{F}_{ix} = \sum_{i=1}^N \frac{mv_{ix}^2}{l}$$

根据压强的定义,压强p是作用在容器器壁单位面积上的平均冲力,所以

图 3-3 理想气体压强公式推导 示意图

$$p = \frac{\overline{F}_{x}}{l^{2}} = \frac{1}{l^{2}} \sum_{i=1}^{N} \overline{F}_{ix} = \sum_{i=1}^{N} \frac{mv_{ix}^{2}}{l^{3}} = \frac{mN}{l^{3}} \frac{\sum_{i=1}^{N} v_{ix}^{2}}{N}$$

$\frac{1}{\sqrt[N]{v_{ix}^2}} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} v_{ix}^2}{\sqrt[N]{v_{ix}^2}}$ 表示容器内 N 个分子沿 x 轴方向的速度分量平方的 平均值,因此压强可写为

$$p = \frac{mN}{l^3} \overline{v_x^2} = \frac{N}{V} m \ \overline{v_x^2} = nm \ \overline{v_x^2}$$

式中, $n = \frac{N}{V}$ 为单位体积内的分子数,即分子数密度。由于处于平 衡状态时,气体分子在任意时刻、沿任意方向运动的概率相等,因 此,对容器中的所用气体分子来说,有 $\overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2} = \overline{v_z^2}$ 。所以

戈

$$p = \frac{1}{3} n m \overline{v^{2}}$$ $$p = \frac{2}{3} n \overline{\varepsilon}_{\text{ki}} \qquad (3.3.1)$$

式中, $\overline{\epsilon}_{kl} = \frac{1}{2}m\overline{v^2}$ 是气体分子的平动动能的平均值,称为平均平均 动能。式(3.3.1)即为理想气体的压强公式,该式表明,理想气 体压强的大小与气体分子数密度 n 和分子的平均平动动能 $\epsilon_n$ 成 正比。气体分子数密度越大,压强越大;分子平均平动动能越大, 压强也越大。由于 n 和 $\overline{\epsilon}_{l}$ 是微观量的统计平均值,因此宏观可 观测量p也是一个统计量。